푸리에 급수

고조파를 더해 사각파 짓기

금색 점선이 목표인 ±1 사각파이고, 파란 곡선은 홀수 고조파를 몇 개 더한 부분합이다. 아래 막대는 고조파마다의 세기로, 지금 더한 항은 금색으로 켜져요. 항 수를 1, 2, 4, 8, 20개로 늘려 가며 부분합이 사각파에 얼마나 다가가는지 확인한다.

주기 신호는 고조파의 합이다

주기가 T인 신호는 기본 주파수 ω₀ = 2π/T와 그 정수배 2ω₀, 3ω₀, …인 정현파들로만 이루어지고, 이 정수배 성분을 고조파라 부른다. 그래서 어떤 주기 신호든 상수 항에 고조파들의 합을 더한 꼴로 적혀요. 악기 소리가 기본음과 배음으로 이루어지듯 기본파와 고조파가 모여 한 파형을 이룬다. 이 화면의 사각파는 ω₀ = 2라서 주기가 π다.

항을 더할수록 닮아 간다

부분합은 처음 몇 고조파만 더한 근사다. 항을 늘리면 높은 주파수의 고조파가 가파른 변화를 메워 모서리가 날카로워져요. 사각파는 홀수 고조파만 가지며 k번째 고조파의 세기는 4/kπ라서 주파수가 높을수록 작아지고, 항 20개면 39번째 고조파까지 들어간다. 다만 불연속이 있는 신호에서는 점프 근처의 오버슈트가 항을 늘려도 점프 높이의 약 9%로 남아 사라지지 않으며, 이것이 깁스 현상이다.

계수는 고조파마다의 세기

고조파마다 앞에 붙는 수, 곧 푸리에 계수가 그 고조파를 얼마나 섞을지 정한다. 사각파는 짝 · 홀 분해(A4)로 보면 홀함수라 코사인 없이 사인만 나오고, 반파 대칭이라 짝수 고조파도 0이에요. 이 계수들을 주파수 순서로 늘어놓으면 그 신호의 스펙트럼이 되니, 시간 영역의 파형 하나가 주파수 영역의 막대 몇 개로 바뀌는 셈이다. 그것이 다음 유닛의 주제다.

첫 화면으로 돌아가서

항이 하나일 때 부분합은 사인 하나뿐이라 사각파와 멀었어요. 홀수 고조파를 더하자 모서리가 가팔라지고 마루가 평평해지며 사각파를 닮아 갔고, 불연속 점에는 사라지지 않는 작은 깁스 귀가 남았다. 아래 막대들은 고조파마다의 세기 4/kπ로 주파수가 높을수록 짧았다. 주기 신호를 고조파로 쪼개는 이 분해가 푸리에 급수이고, 그 막대들을 주파수 축에 세운 그림이 곧 스펙트럼이다.

고조파마다 세기가 있다는 것을 보았으니, 이제 그 세기들 자체를 그림으로 그릴 차례예요. 다음 유닛 스펙트럼에서는 시간 축의 파형 대신 주파수 축 위에 고조파마다의 크기를 막대로 세우고, 그러면 사각파는 홀수 배 주파수에만 선 막대 몇 개로 보인다. 같은 신호를 시간으로 보느냐 주파수로 보느냐, 두 그림이 한 쌍을 이루는 푸리에의 핵심이 거기서 열린다.