푸리에 급수

화음을 더해 사각파를 짓기

금색 점선이 목표 사각파다. 파란 곡선은 홀수 화음 몇 개를 더한 부분합이고, 아래는 각 화음의 세기다. 화음 항 수를 늘려 부분합이 사각파에 얼마나 가까워지는지 보라.

주기 신호는 화음의 합이다

주기 T 인 신호는 기본 주파수 ω₀ = 2π/T 와 그 정수배 2ω₀, 3ω₀, … 인 정현파들로만 이루어진다. 이 정수배 성분을 화음이라 부른다. 그래서 어떤 주기 신호든 상수 항 더하기 화음들의 합으로 적힌다. 음악의 화음처럼, 기본음과 배음이 모여 한 파형을 이룬다.

항을 더할수록 닮아간다

부분합은 처음 몇 화음만 더한 근사다. 항을 늘리면 높은 주파수 화음이 가파른 변화를 메워 모서리가 날카로워진다. 사각파는 홀수 화음만 가지며 k 번째 화음의 세기는 4/kπ 로, 주파수가 높을수록 작아진다. 다만 불연속이 있는 신호에서는 점프 근처의 오버슈트가 항을 늘려도 약 9% 로 사라지지 않는다. 이것이 깁스 현상이다.

계수는 각 화음의 세기

각 화음 앞에 붙는 수, 곧 푸리에 계수가 그 화음을 얼마나 섞을지 정한다. 사각파는 우/기 대칭(A4)에서 기함수라 코사인 없이 사인만 나오고, 짝수 화음은 0 이다. 이 계수들을 주파수에 따라 늘어놓으면 그 신호의 스펙트럼이 된다. 시간 영역의 한 파형이 주파수 영역의 막대 몇 개로 바뀌는 셈인데, 그것이 다음 유닛의 주제다.

첫 화면으로 돌아가서

항이 하나일 때 부분합은 외로운 사인 하나여서 사각파와 멀었다. 홀수 화음을 더하자 모서리가 가팔라지고 마루가 평평해지며 사각파에 닮아갔고, 불연속 점에는 사라지지 않는 작은 깁스 귀가 남았다. 아래 막대들은 각 화음의 세기 4/kπ 로, 주파수가 높을수록 짧았다. 주기 신호를 화음으로 쪼개는 이 분해가 푸리에 급수이고, 그 막대들을 주파수 축에 세운 그림이 곧 스펙트럼이다.

화음마다 세기가 있다는 것을 보았으니, 이제 그 세기들 자체를 그림으로 그릴 차례다. 다음 유닛 스펙트럼에서는 시간 축의 파형 대신, 주파수 축 위에 각 화음의 크기를 막대로 세운다. 그러면 사각파는 홀수 주파수에만 서 있는 몇 개의 막대로 보인다. 같은 신호를 시간으로 보느냐 주파수로 보느냐, 두 그림이 한 쌍을 이루는 푸리에의 핵심이 거기서 열린다.