SC · 라플라스

전달함수

전달함수 H(s) = 출력/입력은 어떤 입력을 넣느냐와 상관없이 시스템 자체를 나타낸다. 라플라스 변환이 미분 d/dt를 곱하기 s로 바꾸기 때문에, 미분방정식이 다항식의 비로 깔끔하게 정리된다. 계수 하나를 움직이며 미분방정식, 전달함수, 극, 임펄스 응답이 한 몸처럼 따라 움직이는 것을 이 강에서 확인해요.

하나의 시스템, 네 가지 언어

슬라이더 아래 칸에 적힌 미분방정식 dy/dt + a·y = a·x를 라플라스 변환하면 전달함수 H(s) = a/(s + a)가 되고, 그 분모를 0으로 만드는 극은 s = −a, 임펄스 응답은 h(t) = a·e^(−at)다. 위 그림은 s 평면에 찍은 지금의 극(금색 ×)과 목표 극(회색 ×)이고, 아래 그림은 지금의 임펄스 응답(금색)과 목표 응답(점선)이에요. 계수 a는 2.4에서 시작한다. 슬라이더로 a를 목표에 맞추면 극과 응답 곡선이 한꺼번에 목표와 겹치는데, 계수 하나가 시스템 전체를 정하기 때문이다.

s 평면 (× = 극 −a)

임펄스 응답 h(t) = a·e^(−at)

계수 a2.40

네 가지 표현

H(s) = 2.40 / (s + 2.40)

dy/dt + 2.40 y = 2.40 x   ·   s = −2.40

금색 극 s = −a가 회색 목표 극에서 떨어져 있다. 미분방정식의 계수 a가 곧 전달함수 분모의 상수이자 극의 위치이고 응답이 잦아드는 빠르기까지 정하므로, 아래 곡선도 점선과 어긋나요. a가 크면 극이 왼쪽으로 가고 응답은 높이 솟았다가 빨리 잦아들며, a가 작으면 그 반대다.

어긋남

미분이 곱하기가 된다

초기값이 모두 0이면 라플라스 변환은 미분 d/dt를 곱하기 s로 바꾼다. 시스템이 따르는 선형 미분방정식의 양변을 변환하면 미분이 전부 s의 거듭제곱으로 바뀌고, 식은 Y(s)와 X(s)에 대한 대수식이 돼요. 이를 출력 Y(s)와 입력 X(s)의 비로 정리하면 s의 다항식 두 개의 비 H(s) = N(s)/D(s)가 나온다. 첫 화면의 dy/dt + a·y = a·x라면 sY + aY = aX에서 H(s) = a/(s + a)를 얻는다. 풀기 번거로운 미분방정식이 분수식 하나로 줄어든 것이다.

관찰H(s) = Y(s)X(s)

전달함수는 출력을 입력으로 나눈 것이다.

고르기라플라스: d/dt → ?

라플라스 변환에서 d/dt는 s가 된다.

빈칸Y(s) = H(s) ?

출력은 H(s)에 입력을 곱한 것이다.

스스로극: D(s) = ?

극은 분모를 0으로 만드는 근이다.

전달함수는 시스템의 신분증

H(s) = Y(s)/X(s)는 어떤 입력을 넣어도 같은 함수이고, 입력에 기대지 않으니 시스템 자체라고 볼 수 있다. 임펄스를 넣으면 X(s) = 1이라 Y(s) = H(s)가 되므로, 전달함수는 정확히 임펄스 응답의 라플라스 변환 H(s) = L{h(t)}다. B1 유닛에서 임펄스 응답 하나만 알면 시스템을 모두 안다고 했던 것을 s 영역으로 옮긴 셈이에요. 입력이 무엇이든 출력은 Y(s) = H(s)X(s), 곧 s 영역의 곱셈 한 번으로 구한다. C4 유닛의 '합성곱은 곱셈' 성질이 여기서는 과도 응답까지 포함해 성립한다.

극은 분모의 근

미분방정식에서 전달함수를 세우면 분모 D(s)가 곧 그 방정식의 특성다항식이다. 그 근, 곧 D(s) = 0의 해가 극이고, 앞 유닛에서 본 대로 자연 응답의 모드와 안정성을 정해요. 분자 N(s)의 근은 영점이다. 그래서 미분방정식의 계수만 알면 H(s)의 분모와 분자를 인수분해해 극과 영점을 바로 얻고, 그 위치로 시스템이 어떻게 움직일지 읽을 수 있다. 첫 화면의 일차 시스템은 극이 −a 하나뿐이어서, a > 0인 한 응답이 진동 없이 단순하게 잦아들었다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 계수 a를 움직이자 미분방정식, 전달함수 H(s) = a/(s + a), 극 s = −a, 임펄스 응답 a·e^(−at)가 함께 움직였다. 넷이 같은 시스템을 네 가지 방식으로 적은 것이기 때문이에요. 라플라스 변환이 미분을 s로 바꿔 방정식을 분수식 하나로 만든 덕분에, 시스템은 곱하기 한 번으로 다룰 수 있는 H(s)가 되었다. 그 분모의 근이 극이고, 어떤 입력에 대해서든 출력은 Y(s) = H(s)X(s)다.

전달함수 H(s) = Y(s)/X(s)는 출력과 입력의 라플라스 변환의 비로, 입력과 상관없는 시스템 자체다. 미분방정식을 변환하면 d/dt가 s로 바뀌어 H(s) = N(s)/D(s), 곧 s 다항식의 비가 된다. H(s) = L{h(t)}(임펄스 응답의 변환)이고, 어떤 입력에든 출력은 Y(s) = H(s)X(s)다. 분모 D(s) = 0의 근이 극, 분자 N(s) = 0의 근이 영점(D2 유닛)이에요.

다음 유닛으로

시스템 하나가 H(s) 하나로 적힌다면, 여러 시스템을 이어 붙인 것도 결국 H(s) 하나로 합칠 수 있다. 다음 유닛 블록선도와 피드백에서는 시스템을 상자로 그리고, 직렬로 이으면 전달함수가 곱해지고 병렬이면 더해지며, 앞 경로 H의 출력을 경로 G로 되먹이는 피드백이면 H/(1 + HG)로 묶이는 규칙을 익혀요. 피드백은 극의 위치를 옮겨 불안정한 시스템을 안정하게, 느린 시스템을 빠르게 바꾸는 제어의 핵심 도구다. 신호와 시스템의 이야기가 그곳에서 제어로 넘어간다.