SC · 라플라스

전달함수

전달함수 H(s) = 출력/입력 은 입력과 무관한 시스템 그 자체다. 라플라스가 미분 d/dt 를 곱하기 s 로 바꿔 미분방정식을 대수식으로 만든다. 계수를 움직이며 미분방정식·전달함수·극·임펄스 응답이 한 몸으로 움직이는 것을 직접 본다.

하나의 시스템, 네 가지 언어

미분방정식과 그것을 라플라스한 전달함수 H(s) = a/(s+a), 그 분모를 0 으로 만드는 극, 그리고 임펄스 응답 h(t) = a·e^(−at)는 모두 같은 시스템이다. 계수 a 를 움직이면 넷이 함께 변한다. 점선 목표 응답에 맞춰, 계수 하나가 시스템 전체를 정함을 보라.

s 평면 (× = 극 −a)

임펄스 응답 h(t) = a·e^(−at)

계수 a2.40

네 가지 표현

H(s) = 2.40 / (s + 2.40)

dy/dt + 2.40 y = 2.40 x   ·   s = −2.40

극의 위치 s = −a 가 목표와 다르다. 미분방정식의 계수 a 가 곧 전달함수의 분모이자 극이고, 응답이 잦아드는 속도까지 정한다. 네 가지가 같은 a 를 가리킨다.

어긋남

미분이 곱하기가 된다

라플라스 변환은 처음값이 0 일 때 미분 d/dt 를 곱하기 s 로 바꾼다. 그래서 시스템이 따르는 선형 미분방정식의 양변을 변환하면, 미분 연산이 모두 s 의 거듭제곱으로 바뀌어 식이 대수식이 된다. 이를 출력 Y(s) 와 입력 X(s) 의 비로 정리하면 H(s) = N(s)/D(s), 곧 s 다항식의 비가 나온다. 풀기 어려운 미분방정식이 분수식 하나로 단순해진 것이다.

관찰H(s) = Y(s)X(s)

전달함수는 출력 나누기 입력.

고르기Laplace: d/dt → ?

라플라스는 d/dt 를 s 로 바꾼다.

빈칸Y(s) = H(s) ?

출력은 H 곱하기 입력.

스스로poles: D(s) = ?

극은 분모를 0 으로 만드는 뿌리.

전달함수는 시스템의 신분증

H(s) = Y(s)/X(s) 는 어떤 입력을 넣든 같은 함수다. 입력에 의존하지 않으니 시스템 그 자체다. 임펄스를 넣으면 X(s)=1 이라 Y(s)=H(s) 이므로, 전달함수는 정확히 임펄스 응답의 라플라스 변환 H(s)=L{h(t)} 다. B1 에서 임펄스 응답이 시스템을 다 말한다고 했던 것을 s 영역으로 옮긴 셈이다. 그리고 어떤 입력에든 출력은 Y(s) = H(s) X(s), 곧 s 영역의 곱셈이다. C4 의 합성곱은 곱셈이라는 성질이 과도 응답까지 포함해 여기서 완성된다.

극은 분모의 뿌리

전달함수를 미분방정식에서 세우면 분모 D(s) 가 곧 그 방정식의 특성다항식이다. 그 뿌리, 곧 D(s)=0 의 해가 극이고, 앞 유닛에서 본 대로 시스템의 자연 응답 모드와 안정성을 정한다. 분자 N(s) 의 뿌리는 영점이다. 그래서 미분방정식의 계수를 알면 H(s) 의 분모·분자를 인수분해해 극과 영점을 곧바로 얻고, 그 위치로 시스템이 어떻게 행동할지 읽는다. 방금 본 1차 시스템은 극이 하나(−a)뿐이라 단순 감쇠였다.

첫 화면으로 돌아가서

계수 a 를 움직이자 미분방정식, 전달함수 H(s) = a/(s+a), 극 s = −a, 임펄스 응답 a·e^(−at)가 모두 함께 움직였다. 넷이 같은 시스템을 네 가지 언어로 적은 것이기 때문이다. 라플라스가 미분을 s 로 바꿔 방정식을 분수식 하나로 만든 덕에, 시스템이 곱하기 한 번으로 다룰 수 있는 H(s) 가 되었다. 그 분모의 뿌리가 극이고, 출력은 어떤 입력에든 Y(s) = H(s) X(s) 다.

전달함수 H(s) = Y(s)/X(s) 는 출력과 입력 라플라스 변환의 비로, 입력과 무관한 시스템 그 자체다. 미분방정식을 변환하면 d/dt 가 s 로 바뀌어 H(s) = N(s)/D(s) 인 s 다항식의 비가 된다. H(s) = L{h(t)}(임펄스 응답의 변환)이고, 어떤 입력에든 출력은 Y(s) = H(s) X(s). 분모 D(s)=0 의 뿌리가 극, 분자 N(s)=0 의 뿌리가 영점(D2)이다.

다음 유닛으로

한 시스템이 H(s) 하나로 적힌다면, 여러 시스템을 이어 붙인 것도 결국 하나의 H(s) 로 합쳐질 것이다. 다음 유닛 블록선도와 피드백에서는 시스템을 상자로 그리고, 직렬로 이으면 전달함수가 곱해지고, 병렬이면 더해지며, 출력을 입력으로 되먹이는 피드백이면 H/(1+HG) 로 묶이는 규칙을 익힌다. 피드백은 극의 위치를 옮겨 불안정한 시스템을 안정하게, 느린 시스템을 빠르게 바꾸는 제어의 핵심 도구다. 거기서 신호·시스템이 제어로 넘어간다.