보드선도 입문

꺾임을 목표 코너에 맞추기

위 그림은 크기를 데시벨로 그린 보드 크기선도로, 파란 곡선이 실제 응답이고 금색 직선이 점근선이다. 아래 그림은 위상선도예요. 코너 주파수 ωc를 움직여 꺾이는 점을 점선 목표 ωc = 4에 맞추면 되고, 로그 축이라 코너 위로는 −20 dB/dec, 곧 주파수가 10배 될 때마다 20 dB씩 내려가는 곧은 직선이 보인다.

데시벨과 로그 축

보드선도는 크기를 20 log₁₀|H| 데시벨로, 주파수를 로그 축으로 그린다. 로그를 쓰면 곱이 합이 되므로, 여러 단을 직렬로 이은 시스템의 데시벨 크기는 그냥 더하면 돼요. 또 0.1부터 1000까지처럼 넓은 주파수 범위가 한 그림에 고르게 들어가니, 곱셈으로 얽히고 폭넓던 응답이 덧셈과 직선의 세계로 옮겨지는 셈이다.

곡선이 직선이 된다

일차 저역통과의 크기를 dB와 로그 축으로 그리면 두 직선으로 펴진다. 코너 ωc 아래에서는 0 dB의 수평선이고, 위에서는 주파수가 10배 될 때마다 20 dB씩 내려가는 −20 dB/dec의 직선이에요. 두 직선은 코너에서 만나고 실제 곡선은 그 점에서 3 dB 아래에 있으니, 코너 주파수 몇 개만 알면 전체 응답을 직선 조각으로 스케치할 수 있다. 이차 시스템이라면 기울기가 −40 dB/dec로 두 배 가파르다.

위상도 함께 읽는다

보드선도는 크기와 위상 두 장이 한 벌이다. 일차 저역통과의 위상은 코너보다 한참 낮은 주파수에서 0°, 코너에서 −45°, 한참 높은 주파수에서 −90°이고, 코너를 가운데 두고 두 디케이드쯤에 걸쳐 매끄럽게 내려가요. 크기의 코너와 위상의 −45°가 같은 ωc에서 일어나니, 시스템이 어떤 주파수를 얼마나 줄이고 얼마나 늦추는지가 두 그림에서 한눈에 읽힌다. 다음 유닛에서는 이 크기선도에서 대역폭과 필터의 종류를 직접 읽는다.

첫 화면으로 돌아가서

코너 주파수를 옮길 때마다 꺾이는 점이 로그 축을 따라 미끄러졌어요. 코너 아래는 늘 평평한 0 dB, 위는 늘 −20 dB/dec의 곧은 직선이었고, 둘은 코너에서 만났으며 실제 곡선은 그 자리에서 3 dB만 아래였다. 위상은 같은 코너를 가운데 두고 0°에서 −90°로 휘었다. 보드선도의 힘은 곡선이던 주파수 응답을 코너 몇 개와 직선 조각으로 바꿔, 넓은 주파수 범위를 손으로도 그릴 수 있게 하는 데 있다.

보드 크기선도를 읽을 줄 알게 되었으니, 이제 그 그림에서 실무에 쓰는 수치를 뽑을 차례예요. 다음 유닛 대역폭과 필터링에서는 통과대의 폭, 곧 −3 dB까지의 대역폭을 코너에서 바로 읽고, 저역 · 고역 · 대역통과 · 대역저지 네 필터를 크기선도의 모양으로 구분한다. 신호의 스펙트럼에 필터의 응답을 곱하면 어떤 주파수가 살아남는지가 정해지니, C4의 합성곱은 곱셈이라는 성질이 여기서 필터 설계의 실전 도구가 된다.