보드선도 입문

꺾임을 목표 코너에 맞추기

위는 크기를 데시벨로 그린 보드 크기선도다. 파란 곡선이 실제 응답, 골드 직선이 점근선이다. 아래는 위상선도다. 코너 주파수 슬라이더를 움직여 꺾임을 점선 목표에 맞춰라. 로그 축이라 코너 위로는 −20dB/십배의 곧은 직선이 보인다.

데시벨과 로그 축

보드선도는 크기를 20 log₁₀|H| 데시벨로, 주파수를 로그 축으로 그린다. 로그를 쓰면 곱이 합이 되어, 여러 단을 직렬로 이은 시스템의 데시벨 크기가 그냥 더해진다. 또 0.1 부터 1000 까지처럼 넓은 주파수 범위가 한 그림에 고르게 들어간다. 곱셈적이고 폭넓던 응답이 더하기와 직선의 세계로 옮겨지는 것이다.

곡선이 직선이 된다

1차 저역통과의 크기를 dB·로그로 그리면 두 직선으로 펴진다. 코너 ωc 아래에서는 0dB 의 수평선, 위에서는 주파수가 10 배가 될 때마다 20dB 씩 내리는 −20dB/십배의 직선이다. 두 직선은 코너에서 만나고, 실제 곡선은 그 지점에서 3dB 만 아래에 있다. 그래서 코너 주파수 몇 개만 알면 전체 응답을 직선 조각들로 스케치할 수 있다. 2차 시스템이면 기울기가 −40dB/십배로 두 배 가팔라진다.

위상도 함께 읽는다

보드선도는 크기와 위상 두 장이 한 벌이다. 1차 저역통과의 위상은 코너 한참 아래에서 0도, 코너에서 −45도, 한참 위에서 −90도로, 코너를 중심으로 약 두 십배 구간에 걸쳐 매끄럽게 내려간다. 크기의 코너와 위상의 −45도가 같은 ωc 에서 일어난다. 시스템이 어떤 주파수를 얼마나 줄이고 얼마나 늦추는지가 두 직선 그림에서 한눈에 읽힌다. 다음 유닛에서는 이 크기선도에서 대역폭과 필터의 종류를 직접 읽는다.

첫 화면으로 돌아가서

코너 주파수를 옮길 때마다 꺾임이 로그 축을 따라 미끄러졌다. 코너 아래는 늘 평평한 0dB, 위는 늘 −20dB/십배의 곧은 직선이었고, 둘은 코너에서 만났다. 실제 곡선은 그 자리에서 3dB 만 아래였다. 위상은 같은 코너를 중심으로 0 도에서 −90 도로 휘었다. 보드선도의 힘은 곡선이던 주파수 응답을 코너 몇 개와 직선 조각들로 바꿔, 넓은 주파수 범위를 손으로도 그릴 수 있게 만드는 데 있다.

보드 크기선도를 읽을 줄 알게 되었으니, 이제 그 그림에서 실무 수치를 뽑을 차례다. 다음 유닛 대역폭과 필터링에서는 통과대의 폭, 곧 −3dB 까지의 대역폭을 코너에서 직접 읽고, 저역·고역·대역통과·대역저지 네 필터를 크기선도의 모양으로 구분한다. 신호의 스펙트럼을 필터의 크기선도에 곱하면 어떤 주파수가 살아남는지가 정해진다. C4 의 합성곱은 곱셈이라는 성질이 여기서 필터 설계의 실전 도구가 된다.