PID 제어

세 항으로 응답을 빠르고 정확하게

플랜트 G(s) = 1/((s + 1)(s + 2))에 PID 제어기를 걸어 목표값 1(점선)을 따라가게 한다. 금색 곡선은 t = 0부터 12까지의 닫힌 루프 계단 응답이고, 아래 표시 칸의 정상상태 오차와 넘침은 이 12초 동안의 곡선에서 잰 값이에요. 처음에는 비례 이득 Kp = 4만 있어 출력이 4/6 ≈ 0.67에서 멈추고, 정상상태 오차 0.33이 남는다. 적분 이득 Ki를 올리면 남은 오차가 쌓여 출력을 목표값까지 밀어 올리는데, Ki = 2만 되어도 12초 안에 오차가 거의 0이 된다. 다만 Ki를 크게 올리면 넘침이 커지므로, Kp와 Kd를 함께 조절해 빠르고 오차 없고 부드러운 응답을 찾게 돼요.

현재·과거·미래의 오차

PID 제어기는 목표값과 출력의 차이인 오차 e(t) 하나를 받아 세 가지 방식으로 더해 제어 입력 u = Kp·e + Ki·∫e dt + Kd·de/dt를 만든다. 비례 항은 지금의 오차에 비례해 곧바로 반응하는데, 오차가 크면 세게 밀고 작으면 약하게 미는 가장 직관적인 항이에요. 적분 항은 오차를 시간에 따라 쌓아서, 작은 오차라도 오래 남아 있으면 적분 값이 계속 커져 결국 그 오차를 밀어낸다. 미분 항은 오차가 변하는 속도에 반응하므로, 오차가 빠르게 줄고 있으면 곧 지나칠 것을 미리 내다보고 제동을 건다. 셋은 각각 오차의 현재, 과거, 미래를 보는 셈이다.

P의 한계, I의 정확, D의 안정

비례 제어만으로는 정상상태 오차가 남는다. 제어 입력이 u = Kp·e이니, 정상상태에서 입력이 0이 아닌 값을 유지하려면 오차 e가 0이 아니어야 하기 때문이다. 이 예의 플랜트는 직류 이득이 1/2이라 Kp만으로는 출력이 Kp/(2 + Kp)에서 멈춰 언제나 목표값에 못 미쳐요. 적분 항이 이를 푼다. 오차가 조금이라도 남아 있으면 적분이 계속 쌓여 입력을 키우고, 오차가 정확히 0이 되어서야 멈추므로 정상상태 오차가 0이 된다. 대신 적분은 원점에 극을 더해 위상을 늦추므로 응답이 흔들리기 쉽고, 미분 항은 반대로 위상을 앞당겨 감쇠를 더한다. 비례로 빠르기를 세우고, 적분으로 오차를 지우고, 미분으로 감쇠를 보태는 것이 PID의 분업이다.

조율과 현실의 함정

PID는 산업 제어의 표준 도구로 온도, 속도, 위치, 유량 어디에나 쓰인다. 세 이득을 정하는 일을 조율이라 하는데, 빠르기와 넘침과 강건성이 서로 맞물려 있어 한쪽을 키우면 다른 쪽이 상해요. 고전적인 지글러–니콜스 방법은 적분과 미분을 끄고 비례 이득만 올려, 시스템이 막 일정하게 진동하기 시작하는 임계 이득과 그 진동 주기를 찾는다. 이것이 F1 유닛의 라우스와 F4 유닛의 나이퀴스트에서 본 안정 경계이고, 거기서부터 표를 따라 세 이득을 정한다. 현실에는 함정도 있다. 미분 항은 빠른 변화를 키우므로 측정 잡음까지 증폭해 보통 저역통과 필터를 함께 달고, 이 그림처럼 미분을 출력 쪽에만 걸어 목표값이 계단으로 바뀌는 순간 입력이 튀는 것을 막기도 한다. 또 입력이 한계에 막혀 있는 동안에도 적분이 계속 쌓이면 나중에 과하게 밀어붙이는 적분 누적이 생기므로, 안티와인드업으로 막는다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서는 플랜트 G = 1/((s + 1)(s + 2))에 PID 제어기를 걸고 세 이득을 맞췄다. 비례 이득만 있을 때는 출력이 목표값에 못 미치고 멈추는 정상상태 오차가 남았어요. 적분 이득을 올리자 남은 오차가 쌓여 출력을 목표값까지 정확히 끌어올렸지만, 지나치게 올리면 넘침과 흔들림이 커졌다. 비례와 미분을 함께 조절해 감쇠를 보태자 응답이 다시 부드러워졌다. 비례가 빠르기를, 적분이 정확도를, 미분이 감쇠를 맡아 셋이 함께 빠르고 오차 없고 잘 감쇠된 응답을 만든 것이다. 지금까지 라우스, 근궤적, 보드 선도, 나이퀴스트 선도로 분석한 루프를 이제 제어기를 설계해 원하는 모양으로 빚어낸 셈이다.

PID는 시간 영역에서 세 항을 더해 응답을 빚었다. 같은 일을 주파수 영역에서 보드 선도의 위상과 이득을 직접 겨냥해 하는 도구가 보상기다. 다음 유닛 진상·지상 보상에서는 극 하나와 영점 하나로 된 작은 전달함수를 루프에 끼워요. 진상 보상기는 교차 주파수 부근에서 위상을 끌어올려 위상여유를 키우므로 미분 항처럼 감쇠와 빠르기를 더하고, 지상 보상기는 낮은 주파수에서 이득을 키워 정상상태 정확도를 높이므로 적분 항처럼 오차를 줄인다. PID의 D와 I가 하던 일을 보상기는 보드 선도 위에서 위상과 이득의 모양을 잡는 일로 다시 해낸다.