PID 제어

세 항으로 응답을 빠르고 정확하게

플랜트 G(s) = 1/((s+1)(s+2)) 에 PID 제어기를 걸어 목표값 1(점선)을 따라가게 한다. 금색 곡선이 닫힌 루프 계단 응답이다. 처음은 비례 이득 Kp 만 있어, 출력이 목표값에 못 미치고 멈추는 정상상태 오차가 보인다. 적분 이득 Ki 를 올리면 남은 오차가 쌓여 출력을 목표값까지 밀어 올린다. 다만 적분은 흔들림을 키우기 쉬우니, 미분 이득 Kd 를 올려 변화를 미리 눌러 진동을 잡는다. 세 이득을 맞춰 빠르고, 오차 없고, 부드러운 응답을 만들어라.

현재·과거·미래의 오차

PID 제어기는 목표값과 출력의 차이인 오차 e(t) 하나를 받아, 세 가지 방식으로 더해 제어 입력을 만든다. u = Kp·e + Ki·∫e dt + Kd·de/dt. 비례 항은 지금의 오차에 비례해 즉각 반응한다. 오차가 크면 세게 밀고 작으면 약하게 미는, 가장 직관적인 항이다. 적분 항은 오차를 시간에 따라 쌓는다. 작은 오차라도 오래 남아 있으면 적분 값이 계속 커져 결국 그 오차를 밀어낸다. 미분 항은 오차가 변해 가는 속도에 반응한다. 오차가 빠르게 줄고 있으면 곧 지나칠 것을 미리 알고 제동을 건다. 셋은 각각 오차의 현재, 과거, 미래를 보는 셈이다.

P 의 한계, I 의 정확, D 의 안정

비례 제어만으로는 정상상태 오차가 남는다. 제어 입력 u = Kp·e 이니, 정상상태에서 입력이 어떤 값을 유지하려면 오차 e 가 0 이 아니어야 하기 때문이다. 이 예의 플랜트는 직류 이득이 1/2 이라, Kp 만으로는 출력이 Kp/(2+Kp) 에 멈춰 늘 목표값에 못 미친다. 적분 항이 이를 푼다. 오차가 조금이라도 남아 있으면 적분이 계속 쌓여 입력을 키우고, 오차가 정확히 0 이 되어서야 멈춘다. 그래서 적분은 정상상태 오차를 0 으로 만든다. 대신 적분은 위상을 늦추는 극을 원점에 더해 응답을 흔들기 쉽다. 미분 항은 반대로 위상을 앞당겨 감쇠를 더하고 오버슈트를 줄인다. 비례로 빠르기를 세우고, 적분으로 오차를 지우고, 미분으로 안정을 보태는 것이 PID 의 분업이다.

조율과 현실의 함정

PID 는 산업 제어의 표준 도구로, 온도, 속도, 위치, 유량 어디에나 쓰인다. 세 이득을 정하는 일을 조율이라 하는데, 빠르기와 넘침과 강건성이 서로 맞물려 한쪽을 키우면 다른 쪽이 상한다. 고전적인 지글러–니콜스 방법은 적분과 미분을 끄고 비례 이득만 올려 시스템이 막 일정하게 진동하기 시작하는 임계 이득과 그 진동 주기를 찾는데, 이것이 바로 F1 의 라우스와 F4 의 나이퀴스트에서 본 안정 경계다. 거기서부터 표를 따라 세 이득을 정한다. 현실에는 함정도 있다. 미분 항은 빠른 변화를 키우므로 측정 잡음을 증폭한다. 그래서 보통 미분에 저역통과 필터를 함께 둔다. 또 입력이 한계에 막혀 있는 동안에도 적분이 계속 쌓이면 나중에 과하게 밀어붙이는 적분 누적이 생기므로, 안티와인드업으로 막는다.

첫 화면으로 돌아가서

플랜트 G = 1/((s+1)(s+2)) 에 PID 제어기를 걸고 세 이득을 맞췄다. 비례 이득만 있을 때는 출력이 목표값에 못 미치고 멈추는 정상상태 오차가 남았다. 적분 이득을 올리자 남은 오차가 쌓여 출력을 정확히 목표값까지 끌어올렸지만, 흔들림이 커졌다. 미분 이득을 올리자 변화가 미리 눌려 진동이 가라앉고 응답이 부드러워졌다. 비례가 속도를, 적분이 정확도를, 미분이 안정을 맡아, 셋이 함께 빠르고 오차 없고 잘 감쇠된 응답을 만들었다. 지금까지 라우스, 근궤적, 보드, 나이퀴스트로 분석한 루프를, 이제 제어기를 설계해 원하는 모양으로 빚어낸 것이다.

PID 는 시간 영역에서 세 항을 더해 응답을 빚었다. 같은 일을 주파수 영역에서, 보드선도의 위상과 이득을 직접 겨냥해 하는 도구가 보상기다. 다음 유닛 진상·지상 보상에서는 극 하나와 영점 하나로 된 작은 전달함수를 루프에 끼운다. 진상 보상기는 교차 주파수 부근에서 위상을 끌어올려 위상여유를 키우니 미분 항처럼 감쇠와 속도를 더하고, 지상 보상기는 낮은 주파수에서 이득을 키워 정상상태 정확도를 높이니 적분 항처럼 오차를 줄인다. PID 의 D 와 I 가 했던 일을, 보상기는 보드선도 위에서 위상과 이득을 모양 잡는 일로 다시 보여 준다.