LTI 시스템의 성질

누적 면적이 천장에 닿는가

위는 인과 임펄스 응답 h(t)=eᵃᵗ(t≥0)다. 아래는 |h| 를 왼쪽부터 쌓은 누적 면적이다. 감쇠율 a 를 줄여 이 면적이 무한히 자라는 대신 유한한 천장에 닿게 만들어라. 그 천장이 곧 안정이다.

인과성은 h 가 언제 시작하는가

임펄스는 t=0 에 들어온다. 인과 시스템은 그 전에는 반응할 수 없으므로 임펄스 응답이 t<0 에서 0 이어야 한다. 즉 h(t)=0, t<0. 이 예의 h 는 t≥0 에서만 살아 있으니 언제나 인과다. h 의 그래프가 0 보다 왼쪽에서 잠잠한지만 보면 인과성을 바로 읽는다.

안정성은 |h| 의 총 면적

BIBO 안정은 유계 입력이 늘 유계 출력을 낳는다는 뜻이다. 출력은 입력과 h 의 합성곱이라, 출력의 크기는 입력의 최대 크기에 ∫|h(t)|dt 를 곱한 값으로 한계가 잡힌다. 그래서 이 적분이 유한해야 안정이다. 조건은 ∫|h(t)|dt < ∞, 곧 h 가 절대적분 가능해야 한다.

극의 부호로 읽는다

h=eᵃᵗu(t)에서 적분 ∫₀^∞ eᵃᵗ dt 는 a<0 일 때만 유한하고 그 값은 1/|a| 다. 그래서 안정 조건은 단순히 a<0 이다. 이 a 는 다음 장에서 배울 s 평면의 극 위치이고, 극이 허수축 왼쪽(실수부<0)에 있으면 안정이라는 규칙으로 이어진다. h 의 모양에서 읽던 성질이 극의 위치로 옮겨 적히는 것이다.

첫 화면으로 돌아가서

감쇠율 a 를 0 아래로 내리자 누적 |h| 면적이 멈추지 않고 자라던 것에서 천장 1/|a| 에 닿아 멈추는 것으로 바뀌었다. 그 천장의 존재, 곧 ∫|h| 가 유한하다는 사실이 바로 안정이다. 인과성은 거저 얻었다. h 가 t<0 에서 내내 0 이었기 때문이다. LTI 시스템의 두 핵심 성질은 이렇게 임펄스 응답 하나의 모양, 언제 시작하고 면적이 유한한지에 다 적혀 있다.

임펄스 응답이 시스템을 다 말한다면, 그 응답을 한 번 적분한 것은 무엇일까. 다음 유닛 계단 응답에서는 입력으로 단위 계단 u(t)를 넣어, 출력이 임펄스 응답의 누적 적분임을 본다. 안정한 시스템의 계단 응답은 유한한 최종값에 정착하고, 그 정착값과 정착 속도가 시스템을 실무에서 가늠하는 잣대가 된다. 방금 본 ∫|h| 의 유한함이 바로 그 정착을 보장한다.