LTI 시스템의 성질

누적 면적이 천장에 닿는가

위 그림은 인과 임펄스 응답 h(t) = eᵃᵗ(t ≥ 0)이고, 아래 그림은 |h|를 왼쪽부터 쌓은 누적 면적이다. 감쇠율 a를 0 아래로 충분히 내리면 이 면적이 끝없이 자라는 대신 초록 점선의 천장 1/|a|에 닿아 멈추는데, 그 천장이 있다는 것이 곧 안정이에요.

인과성은 h가 언제 시작하는가

임펄스는 t = 0에 들어온다. 인과 시스템은 그 전에 반응할 수 없으므로 임펄스 응답이 t < 0에서 0이어야 하며, 식으로는 t < 0에서 h(t) = 0이다. 이 화면의 h는 t ≥ 0에서만 살아 있으니 a가 얼마든 언제나 인과적이에요. h의 그래프가 0보다 왼쪽에서 잠잠한지만 보면 인과성을 바로 읽을 수 있다.

안정성은 |h|의 총면적

BIBO 안정은 유계 입력이 늘 유계 출력을 낳는다는 뜻이다. 출력은 입력과 h의 합성곱이라, 출력의 크기는 입력의 최대 크기에 ∫|h(t)| dt를 곱한 값을 넘지 못해요. 그래서 이 적분이 유한해야 안정이고, 조건은 ∫|h(t)| dt < ∞, 곧 h가 절대적분 가능하다는 것이다.

극의 부호로 읽는다

h = eᵃᵗu(t)에서 적분 ∫₀^∞ eᵃᵗ dt는 a < 0일 때만 유한하고, 그 값은 1/|a|다. 그래서 안정 조건은 간단히 a < 0이며, a = −1이면 천장이 1, a = −0.5이면 2로 a가 0에 가까울수록 천장이 높아져요. 이 a는 다음 장에서 배울 s 평면의 극 위치이고, 극이 허수축 왼쪽(실수부 < 0)에 있으면 안정이라는 규칙으로 이어진다. h의 모양에서 읽던 성질이 극의 위치로 옮겨 적히는 셈이다.

첫 화면으로 돌아가서

감쇠율 a를 0 아래로 내리자, 멈추지 않고 자라던 누적 |h| 면적이 천장 1/|a|에 닿아 멈추는 것으로 바뀌었어요. 그 천장이 있다는 것, 곧 ∫|h|가 유한하다는 사실이 바로 안정이다. 인과성은 거저 얻었는데, h가 t < 0에서 내내 0이었기 때문이다. LTI 시스템의 두 핵심 성질은 이렇게 임펄스 응답 하나의 모양, 곧 언제 시작하는지와 면적이 유한한지에 모두 적혀 있다.

임펄스 응답에 시스템의 모든 것이 담겨 있다면, 그 응답을 한 번 적분한 것은 무엇일까. 다음 유닛 계단 응답에서는 입력으로 단위 계단 u(t)를 넣어, 출력이 임펄스 응답을 쌓은 누적 적분이라는 것을 확인해요. 안정한 시스템의 계단 응답은 유한한 최종값에 자리 잡고, 그 최종값과 자리 잡는 속도가 실무에서 시스템을 가늠하는 잣대가 된다. 방금 본 ∫|h|의 유한함이 바로 그 정착을 보장한다.