스펙트럼

선을 목표 주파수에 맞추기

위 그림은 순수 정현파 cos ωt의 시간 파형이고, 아래 그림은 그 스펙트럼이다. 정현파는 자기 주파수 자리에 선 하나로 나타나요. 슬라이더로 각주파수 ω를 움직이면 시간 파형의 진동 속도와 파란 선의 위치가 함께 바뀌고, 선이 금색 점선의 목표 ω = 4.5에 닿으면 맞은 것이다.

스펙트럼은 주파수의 주소록

스펙트럼은 가로축이 주파수, 세로축이 크기인 그림이다. 신호 안에 어떤 주파수가 얼마나 들어 있는지를 그 주파수 자리에 세운 막대의 높이로 나타내며, 순수 정현파는 주파수가 하나뿐이라 선 하나로 서요. 선의 가로 위치가 주파수, 높이가 진폭이고, 주파수를 바꾸면 선이 가로로 미끄러진다. 이 그림은 양의 주파수만 그린 한쪽 스펙트럼이라 선 높이가 진폭 1과 같고, 음의 주파수까지 그리는 양쪽 스펙트럼에서는 ±ω에 높이 0.5인 선 두 개로 나뉜다.

크기와 위상, 두 장의 그림

성분 하나를 온전히 적으려면 크기만으로는 모자라고, 그 정현파가 언제 마루에 닿는지, 곧 위상도 필요하다. 그래서 스펙트럼은 두 장이에요. 크기 스펙트럼 |X|에는 주파수마다 얼마나 센지가, 위상 스펙트럼 ∠X에는 주파수마다 얼마나 밀려 있는지가 적히고, 둘을 합쳐야 신호가 완전히 정해진다. 이 화면은 위상을 0으로 두어 크기 한 장만 그렸다.

시간과 주파수는 한 쌍

시간 파형과 스펙트럼은 같은 신호의 두 얼굴이고, 서로 오갈 수 있다. 스펙트럼의 성분들을 다시 더하면 시간 파형이 되고(합성), 시간 파형에서 주파수마다의 양을 재면 스펙트럼이 돼요(분석). 주기 신호는 앞 유닛처럼 고조파 자리에만 선이 서는 이산 스펙트럼을 가지는데, 주기가 없는 신호라면 어떻게 될까. 그 답이 다음 유닛의 푸리에 변환이다.

첫 화면으로 돌아가서

각주파수 슬라이더를 움직이자 시간 파형의 진동이 빨라지거나 느려졌고, 동시에 스펙트럼의 선이 그 주파수 자리로 미끄러졌어요. 두 변화가 늘 함께 일어난 것은 둘이 같은 신호를 시간 축과 주파수 축에서 본 모습이기 때문이다. 선의 가로 위치는 주파수, 높이는 크기였다. 스펙트럼은 신호를 주파수의 말로 다시 쓴 것이고, 시간 파형과 똑같은 정보를 담은 짝이다.

주기 신호의 스펙트럼은 고조파 자리에만 선이 서는 이산 그림이었어요. 그렇다면 펄스 하나처럼 되풀이되지 않는 신호는 어떤 스펙트럼을 가질까. 다음 유닛 푸리에 변환에서는 주기를 끝없이 늘리는 극한을 따라가는데, 고조파 사이 간격이 0으로 좁아지면서 떨어져 있던 선들이 빈틈없는 연속 스펙트럼으로 녹아든다. 이산 합이 적분으로 바뀌는 그 순간이 푸리에 변환이 태어나는 자리다.