스펙트럼

선을 목표 주파수에 맞추기

위는 순수 정현파의 시간 파형이고, 아래는 그 스펙트럼이다. 정현파는 주파수 자리에 선 하나로 나타난다. 주파수 슬라이더를 움직여 파란 선을 점선 목표 주파수에 정확히 맞춰라. 시간의 진동 속도와 선의 위치가 같이 변한다.

스펙트럼은 주파수의 주소록

스펙트럼은 가로축이 주파수, 세로축이 크기인 그림이다. 신호 안에 어떤 주파수가 얼마나 들어 있는지를 그 주파수 자리에 세운 막대의 높이로 보여 준다. 순수 정현파는 단 하나의 주파수만 가지므로 선 하나로 나타나고, 그 선의 가로 위치가 주파수, 높이가 진폭이다. 주파수를 바꾸면 선이 가로로 미끄러진다.

크기와 위상, 두 장의 그림

한 성분을 온전히 적으려면 크기만으로는 부족하다. 그 정현파가 언제 마루에 닿는지, 곧 위상도 필요하다. 그래서 스펙트럼은 두 장이다. 크기 스펙트럼 |X| 는 각 주파수가 얼마나 센지, 위상 스펙트럼 ∠X 는 각 주파수가 얼마나 밀려 있는지를 보여 준다. 둘을 합쳐야 신호가 완전히 정해진다. 여기서는 위상을 0 으로 두어 크기 한 장만 그렸다.

시간과 주파수는 한 쌍

시간 파형과 스펙트럼은 같은 신호의 두 얼굴이고, 서로 오갈 수 있다. 스펙트럼에서 각 성분을 다시 더하면 시간 파형이 되고(합성), 시간 파형에서 각 주파수의 양을 재면 스펙트럼이 된다(분석). 주기 신호는 앞 유닛처럼 화음 자리에만 선이 서는 이산 스펙트럼을 가진다. 주기가 아닌 신호라면 어떻게 될까. 그 답이 다음 유닛 푸리에 변환이다.

첫 화면으로 돌아가서

주파수 슬라이더를 움직이자 시간 파형의 진동이 빨라지거나 느려졌고, 동시에 스펙트럼의 선이 그 주파수 자리로 미끄러졌다. 두 변화는 늘 함께 일어났는데, 둘이 같은 신호를 시간 축과 주파수 축에서 본 것이기 때문이다. 선의 가로 위치는 주파수, 높이는 크기였다. 스펙트럼은 신호를 주파수의 언어로 다시 쓴 것이고, 시간 파형과 완전히 같은 정보를 담은 짝이다.

주기 신호의 스펙트럼은 화음 자리에만 선이 선 이산 그림이었다. 그렇다면 펄스 하나처럼 되풀이되지 않는 신호는 어떤 스펙트럼을 가질까. 다음 유닛 푸리에 변환에서는 주기를 무한히 늘리는 극한을 따라간다. 화음 사이 간격이 0 으로 좁아지면서, 따로 떨어져 있던 선들이 빈틈없는 연속 스펙트럼으로 녹아든다. 이산 합이 적분으로 바뀌는 그 순간이 푸리에 변환의 탄생이다.