s 평면과 극·영점

극을 옮기면 응답이 바뀐다

왼쪽은 s 평면이고 ×가 극 한 쌍 s=σ±jω 다. 초록 영역이 안정한 좌반면, 가운데 세로선이 허수축이다. 아래는 그 극의 자연 응답 e^(σt)cos(ωt)다. 두 슬라이더로 극을 옮겨, 응답이 0 으로 잦아드는 좌반면으로 끌어와라.

극은 무한대, 영점은 0

전달함수는 분자와 분모의 비 H(s) = N(s)/D(s) 로 쓴다. 분모 D(s) 를 0 으로 만드는 s 값에서 H 가 무한대로 솟구치는데, 그 점을 극이라 하고 평면에 ×로 찍는다. 분자 N(s) 를 0 으로 만드는 s 에서는 H 가 0 이 되는데, 그 점을 영점이라 하고 ○로 찍는다. 시스템의 자연 응답 모양은 극이 거의 다 정하고, 영점은 그 모양에 가중치를 더한다.

실수부는 감쇠, 허수부는 진동

극 s = σ + jω 가 만드는 자연 응답은 e^(σt)cos(ωt) 꼴이다. 실수부 σ 는 지수 e^(σt) 의 감쇠율이라, σ 가 음수면 잦아들고 음수일수록 더 빨리 잦아든다. 허수부 ω 는 코사인의 각주파수라, 실수축에서 멀수록 더 빨리 진동한다. 그래서 평면 위 극의 가로 위치는 얼마나 빨리 사라지는지, 세로 위치는 얼마나 빨리 흔들리는지를 한눈에 보여 준다. 실수 극(ω=0)이면 진동 없이 단순 감쇠다.

좌반면이면 안정

시스템의 모든 극이 허수축 왼쪽, 곧 실수부가 음수인 좌반면에 있으면 모든 자연 응답 모드가 잦아들어 BIBO 안정이다. 극이 하나라도 우반면에 있으면 그 모드가 발산해 불안정하고, 허수축 위에 있으면 사라지지 않고 진동하는 임계 안정이다. 이것이 B4 에서 본 a<0 안정 조건을, 복소 극까지 포함해 s 평면 위 위치 하나로 일반화한 것이다. 안정성은 극이 결정하며, 영점은 안정성을 바꾸지 못한다.

첫 화면으로 돌아가서

극을 허수축 왼쪽으로 끌면 응답이 0 으로 잦아들었고(안정), 오른쪽으로 밀면 진폭이 커져 발산했으며(불안정), 허수축 위에 두면 같은 크기로 영원히 진동했다(임계). 극을 실수축에서 멀리 위아래로 옮길수록 진동이 빨라졌다. 극의 가로 위치(실수부)가 감쇠율이었고, 세로 위치(허수부)가 진동 주파수였다. 시스템의 행동 전체가 s 평면 위 점 하나의 자리에 적혀 있었던 것이다.

극과 영점이 시스템을 그린다면, 그것을 묶은 함수 H(s) 자체가 시스템의 완전한 신분증이다. 다음 유닛 전달함수에서는 시스템의 미분방정식을 라플라스 변환해 H(s) = 출력/입력 으로 세우고, 그 H(s) 에 입력의 변환을 곱해 출력을 구한다. 시간 영역의 합성곱이 s 영역의 곱셈이 되는 것은 C4 에서 본 그대로다. 극과 영점은 그 H(s) 의 분모와 분자를 인수분해한 자리일 뿐이다.