s 평면과 극·영점

극을 옮기면 응답이 바뀐다

위 그림이 s 평면이고, 금색 × 두 개가 켤레 극 한 쌍 s = σ ± jω다. 초록으로 칠한 왼쪽이 안정한 좌반면, 빨강으로 칠한 오른쪽이 우반면이며 둘을 가르는 세로선이 허수축이에요. 아래 그림은 이 극이 만드는 자연 응답 e^(σt)cos(ωt)를 t = 0부터 6까지 그린 것이다. 처음에는 σ = 0.4라 극이 우반면에 있고, 응답은 흔들리며 그림 밖으로 불어난다. 두 슬라이더로 극을 좌반면까지 옮기면 응답이 0으로 잦아드는 모습을 볼 수 있어요.

극에서는 무한대, 영점에서는 0

전달함수는 두 다항식의 비 H(s) = N(s)/D(s)로 쓴다. 분모 D(s)가 0이 되는 s에서 H는 무한대로 치솟는데, 이 점을 극이라 부르고 평면에 ×로 찍는다. 분자 N(s)가 0이 되는 s에서는 H가 0이 되며, 이 점이 영점이고 ○로 찍어요. 자연 응답에 어떤 모드(e^(σt)cos(ωt) 꼴의 조각)가 들어 있는지는 극이 정하고, 영점은 각 모드가 응답에 얼마만큼 섞이는지, 곧 가중치를 바꾼다. 위 그림에는 극 한 쌍만 있고 영점은 그리지 않았다.

실수부는 감쇠, 허수부는 진동

극 s = σ + jω 하나가 만드는 자연 응답은 e^(σt)cos(ωt) 꼴이다. 실수부 σ는 지수 e^(σt)의 감쇠율이어서, σ가 음수면 응답이 잦아들고 더 음수일수록 더 빨리 잦아든다. 허수부 ω는 코사인의 각주파수라 극이 실수축에서 위아래로 멀어질수록 진동이 빨라져요. 그래서 평면에서 극의 가로 위치를 읽으면 응답이 얼마나 빨리 사라지는지를, 세로 위치를 읽으면 얼마나 빨리 흔들리는지를 바로 알 수 있다. ω 슬라이더를 0까지 내리면 두 ×가 실수축에서 겹치고, 응답은 흔들림 없이 그냥 잦아들거나 불어난다.

좌반면이면 안정

시스템의 모든 극이 허수축 왼쪽, 곧 실수부가 음수인 좌반면에 있으면 자연 응답의 모든 모드가 잦아들어 BIBO 안정이다. 극이 하나라도 우반면에 있으면 그 모드가 발산해 불안정하다. 허수축 위에 놓인 극은 사라지지 않는 진동을 남기는 임계 안정인데, 같은 주파수의 유계 입력에 공진해 출력이 끝없이 커지므로 BIBO 안정에는 들지 않아요. 이 기준은 B4 유닛에서 본 a < 0 안정 조건을 복소 극까지 넓혀 s 평면의 위치 하나로 정리한 것이다. 안정성을 정하는 것은 극이고, 영점은 응답의 모양을 바꿀 뿐 안정성은 바꾸지 못한다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 극을 허수축 왼쪽으로 끌어오면 응답이 0으로 잦아들었고(안정), 오른쪽으로 밀면 진폭이 불어나 그림 밖으로 벗어났으며(불안정), 허수축 위에 두면 같은 크기로 계속 흔들렸다(임계). ω를 키워 극을 실수축에서 위아래로 멀리 보낼수록 진동도 빨라졌어요. 극의 가로 위치인 실수부가 감쇠율이었고, 세로 위치인 허수부가 진동의 각주파수였던 셈이다. 시스템이 어떻게 움직일지가 s 평면 위 점 하나의 자리에 이미 적혀 있었다.

극과 영점이 시스템의 성질을 거의 다 정한다면, 둘을 함께 담은 함수 H(s)는 그 시스템의 신분증과 같다. 다음 유닛 전달함수에서는 시스템의 미분방정식을 라플라스 변환해 H(s) = 출력/입력을 세우고, 입력의 변환에 H(s)를 곱해 출력을 구해요. 시간 영역의 합성곱이 s 영역에서 곱셈이 되는 것은 C4 유닛에서 본 성질 그대로다. 극과 영점은 그 H(s)의 분모와 분자를 인수분해했을 때 나오는 근이다.