SC · LTI·합성곱

임펄스 응답

LTI 시스템은 임펄스 하나에 대한 응답만 알면 전부 알 수 있다. 그 응답 h(t)가 시스템의 지문임을, 그리고 임펄스를 키우고 옮기면 응답도 그대로 따라감을 직접 확인한다.

출력을 목표 응답에 포개기

빨간 임펄스 하나를 시스템에 넣으면 파란 응답이 나온다. 점선은 맞춰야 할 목표 응답이다. 임펄스의 크기 a 와 위치 t₀ 를 움직여 출력 a·h(t−t₀)를 목표 위에 정확히 포개라.

입력 임펄스 a·δ(t−t₀)출력 a·h(t−t₀)목표

임펄스 크기 a0.50

임펄스 위치 t₀-0.60

현재 출력

y(t) = 0.50 h(t − -0.60)

출력의 크기나 위치가 목표와 다르다. 출력은 늘 같은 모양 h 의 복사본이라, 크기 a 와 위치 t₀ 두 가지만 맞추면 된다.

멀리 어긋남

임펄스 하나로 시스템을 두드리다

시스템에 폭이 0 이고 면적이 1 인 임펄스 δ(t)를 한 번 넣고 나오는 출력을 임펄스 응답 h(t)라 부른다. 종을 한 번 치면 그 종 고유의 울림이 나오듯, h(t)는 그 시스템만의 고유한 반응이다. 이것이 시스템의 지문이다.

크기와 위치는 그대로 따라간다

시스템이 선형이라 임펄스를 a 배 키우면 응답도 a 배가 되고, 시불변이라 임펄스를 t₀ 만큼 미루면 응답도 모양 그대로 t₀ 만큼 미뤄진다. 둘을 합치면 a·δ(t−t₀) → a·h(t−t₀)다. 그래서 출력은 언제나 같은 h 를 크기와 위치만 바꾼 복사본이다.

관찰δ(t) → h(t)

임펄스를 넣으면 임펄스 응답이 나온다.

고르기a δ(t) → ?

크기는 응답에 그대로 곱해진다.

빈칸δ(t − t₀) → ?

미룬 임펄스는 미룬 응답.

스스로a δ(t − t₀) → ?

크기와 위치를 함께 적용한다.

그래서 임의 입력도 예측된다

어떤 입력이든 잘게 쪼개면 크기가 다른 임펄스들이 시각마다 줄지어 선 것으로 볼 수 있다. 추출 성질이 그렇게 보장한다. 시스템이 LTI 라면 각 임펄스는 자기 자리에 크기만큼의 h 복사본을 남기고, 전체 출력은 이 복사본들을 모두 더한 중첩이다. 이 더하기가 바로 다음 유닛의 합성곱이다.

첫 화면으로 돌아가서

목표 응답에 포개는 데 필요한 손잡이는 단 둘, 크기 a 와 위치 t₀ 뿐이었다. 출력의 모양은 손대지 못했는데, 그 모양이 바로 시스템의 고정된 지문 h 이기 때문이다. 임펄스를 키우면 응답이 커지고, 임펄스를 옮기면 응답이 옮겨질 뿐, 모양은 늘 h 다. 이 하나의 h 를 알면 LTI 시스템이 할 일을 전부 안다. 다음은 임의 입력을 임펄스들로 쪼개 이 응답들을 더하는 합성곱이다.

임펄스 응답 h(t)는 임펄스 δ(t)를 넣었을 때 LTI 시스템이 내는 출력이다. 선형성과 시불변성 덕에 a·δ(t − t₀) → a·h(t − t₀), 곧 출력은 h 의 스케일·이동 복사본이다. 그래서 h 하나가 LTI 시스템을 완전히 정한다. 임의 입력의 출력은 입력을 이루는 임펄스들에 대한 h 복사본들의 중첩이며, 이것이 합성곱으로 이어진다.

다음 유닛으로

임펄스 응답은 LTI 시스템의 모든 것을 담은 한 개의 신호다. 다음 유닛 합성곱 직관에서는 임의 입력을 임펄스들의 줄로 보고, 각 임펄스가 남긴 h 복사본을 겹치고 미끄러뜨리며 더해 출력을 만든다. 방금 본 a·h(t−t₀) 복사본 하나가, 그 합의 한 조각이다. 합성곱은 결국 이 유닛의 중첩을 연속으로 수행하는 일이다.