임펄스 응답

출력을 목표 응답에 포개기

빨간 막대가 시스템에 넣는 임펄스로, 막대의 높이가 임펄스의 크기 a이고 막대가 선 자리가 위치 t₀다. 그 임펄스가 만든 출력이 파란 곡선이며, 임펄스가 들어온 순간부터 흔들리며 잦아드는 모양이에요. 크기 a와 위치 t₀를 움직여 출력 a·h(t − t₀)를 금색 점선 목표 위에 정확히 포개면, 출력도 금색으로 바뀐다.

임펄스 하나로 시스템을 두드리다

폭이 0이고 면적이 1인 임펄스 δ(t)를 시스템에 한 번 넣었을 때 나오는 출력을 임펄스 응답 h(t)라 부른다. 종을 한 번 치면 그 종만의 울림이 나오듯 h(t)는 그 시스템만의 반응이고, 그래서 시스템의 지문이라 불러요. 이 화면의 h(t)는 1.3e^(−1.1t) sin 2.6t처럼 흔들리며 잦아드는 신호이고, 임펄스가 들어오기 전에는 0이라 인과적이다.

크기와 위치는 그대로 따라간다

시스템이 선형이라 임펄스를 a배 키우면 응답도 a배가 되고, 시불변이라 임펄스를 t₀만큼 미루면 응답도 모양 그대로 t₀만큼 미뤄진다. 둘을 합치면 a·δ(t − t₀) → a·h(t − t₀)이에요. 그래서 출력은 언제나 같은 h를 크기와 위치만 바꿔 놓은 복사본이다.

그래서 임의 입력도 예측된다

어떤 입력이든 잘게 쪼개면 크기가 다른 임펄스들이 시각마다 줄지어 선 것으로 볼 수 있고, 추출 성질이 그렇게 볼 수 있음을 보장한다. 시스템이 LTI라면 임펄스마다 제자리에 제 크기만큼의 h 복사본을 남기고, 전체 출력은 이 복사본들을 모두 더한 중첩이에요. 이 더하기가 바로 다음 유닛의 합성곱이다.

첫 화면으로 돌아가서

목표 응답에 포개는 데 필요한 손잡이는 크기 a와 위치 t₀ 둘뿐이었어요. 출력의 모양에는 손댈 수 없었는데, 그 모양이 바로 시스템의 고정된 지문 h이기 때문이다. 임펄스를 키우면 응답이 커지고 옮기면 응답이 옮겨질 뿐, 모양은 늘 h다. 이 하나의 h를 알면 LTI 시스템이 할 일을 모두 알 수 있고, 다음은 임의의 입력을 임펄스들로 쪼개 이 응답들을 더하는 합성곱이다.

임펄스 응답은 LTI 시스템의 모든 것을 담은 신호 하나다. 다음 유닛 합성곱 직관에서는 임의의 입력을 임펄스들의 줄로 보고, 임펄스마다 남긴 h 복사본을 겹치고 미끄러뜨리며 더해 출력을 만들어요. 방금 본 a·h(t − t₀) 복사본 하나가 그 합의 한 조각이다. 합성곱은 결국 이 유닛의 중첩을 연속적으로 해내는 일이다.