시스템의 성질

두 경로가 언제 같아지는가

흐린 두 봉우리가 시험 입력 x₁과 x₂이고, 시스템은 S{u} = u + εu²다. 두 입력을 먼저 더해 한 번 통과시킨 결과(금색)와 따로 통과시킨 뒤 더한 결과(파란 점선)를 견주어 보면, ε가 클 때는 두 입력이 겹치는 가운데에서 둘이 벌어져요. 비선형 세기 ε를 줄여 가며 두 경로가 언제 정확히 포개지는지 확인한다.

선형성은 곧 중첩이다

선형 시스템은 두 가지를 지킨다. 입력을 a배 키우면 출력도 a배가 되고(동차성), 두 입력을 더해 넣으면 출력도 두 출력의 합이 된다(가산성). 이 둘을 한 줄로 묶은 것이 S{a·x₁ + b·x₂} = a·S{x₁} + b·S{x₂}라서, 어떤 입력이든 조각들의 합으로 쓰면 출력도 같은 조합의 출력 합이 돼요. 그림의 시스템처럼 u² 항이 끼면 교차항이 생기는데, 두 경로의 차이는 정확히 S{x₁ + x₂} − S{x₁} − S{x₂} = 2εx₁x₂이다. 그래서 두 입력이 함께 큰 곳에서만 벌어진다.

시불변성: 미루면 똑같이 미뤄진다

시불변 시스템은 동작이 시간에 따라 변하지 않는다. 그래서 입력을 t₀만큼 미루면 출력도 모양 그대로 t₀만큼 미뤄질 뿐이며, 식으로는 x(t) → y(t)이면 x(t − t₀) → y(t − t₀)이에요. 오늘 넣든 내일 넣든 같은 응답이 나오는 시스템이다. 그림의 S{u} = u + εu²는 계수가 시간에 따라 바뀌지 않으니 ε와 상관없이 시불변이다.

인과성과 LTI

인과 시스템은 출력이 현재와 과거의 입력에만 의존하고 미래 입력은 보지 못한다. 곧 y(t)는 τ ≤ t인 x(τ)만으로 정해지고, 실시간으로 동작하는 시스템은 모두 인과적이에요. 그림의 시스템은 지금 입력만 보는 기억 없는 시스템이라 인과적이기도 하니, 세 성질이 서로 독립이라는 것이 여기서도 드러난다. 선형이면서 시불변인 시스템을 LTI라 부르며, LTI는 임펄스 응답 하나로 완전히 정해지고 출력이 합성곱 y = x ∗ h로 나온다. 다음 장 전체가 이 LTI 위에 선다.

첫 화면으로 돌아가서

비선형 세기 ε를 0으로 줄였을 때 비로소 두 경로가 정확히 포개졌어요. 먼저 합치든 나중에 합치든 같다는 그 일치가 바로 중첩이고, 곧 선형성이다. 선형 · 시불변 · 인과는 시스템에 던지는 서로 독립된 세 질문, 곧 입력을 합하고 스케일해도 그대로 보존되는가, 미루면 똑같이 미뤄지는가, 미래를 보지 않는가이다. 선형이면서 시불변이면 그 시스템은 임펄스 응답 하나로 다 설명되는 LTI가 된다.

한 시스템이 선형성과 시불변성을 모두 가지면 LTI가 되고, 여기서부터 신호와 시스템의 진짜 힘이 나온다. 다음 장 LTI와 합성곱에서는 LTI를 단 하나의 신호, 곧 임펄스 응답으로 완전히 붙잡고, 임의의 입력에 대한 출력을 합성곱으로 계산해요. 방금 본 중첩이 바로 그 계산의 열쇠다. 임의의 입력을 임펄스들의 합으로 쪼개고 각 임펄스 응답을 중첩으로 다시 더하는 것이 합성곱이기 때문이다.