SC · 푸리에

푸리에 변환 성질

푸리에 변환의 가장 강력한 성질은 시간 영역의 합성곱이 주파수 영역의 곱셈이 된다는 것이다. B 장에서 힘들게 미끄러뜨려 더하던 합성곱이, 주파수에서는 두 스펙트럼을 점마다 곱하는 일로 바뀜을 직접 본다.

합성곱과 곱셈이 함께 움직인다

위는 시간 출력 y = x ∗ h 이고, 아래는 그 스펙트럼이다. 주파수에서 출력 Y 는 입력 X 와 시스템 H 를 점마다 곱한 X·H 다. h 의 폭을 움직여 보라. 시간의 합성곱 결과와 주파수의 곱 결과가 늘 함께 변하며 점선 목표에 같이 닿는다.

시간 출력 y = x ∗ h목표

스펙트럼 Y = X · H

h 의 폭2.00

두 영역의 출력

y = x ∗ h   ↔   Y = X · H

h 의 폭이 목표와 다르다. 시간 출력과 주파수 출력이 둘 다 어긋났다. 두 영역은 같은 사실의 두 얼굴이라 늘 함께 움직인다.

어긋남

합성곱이 곱셈이 된다

푸리에 변환의 핵심 성질은 합성곱 정리다. 시간 영역에서 y = x ∗ h 이면, 주파수 영역에서는 Y(ω) = X(ω) H(ω) 다. 미끄러뜨려 더하는 적분이 같은 주파수끼리의 단순한 곱으로 바뀐다. 여기서 H(ω) 는 임펄스 응답 h 의 푸리에 변환, 곧 시스템의 주파수 응답이다. B 장에서 본 LTI 출력 계산이 주파수에서는 곱셈 한 번으로 끝난다.

관찰x ∗ h ↔ X · H

시간 합성곱은 주파수 곱셈.

고르기a x + b y ↔ ?

합과 스케일은 그대로 옮겨간다.

빈칸x(t − t₀) ↔ X(ω) · ?

시간 이동은 위상 e^−jωt₀.

스스로x(at) ↔ ?

시간 압축은 주파수 팽창.

이동은 위상, 스케일은 역수

다른 성질들도 변환을 계산 도구로 만든다. 선형성: 입력의 합과 스케일은 변환에서도 그대로 더해지고 곱해진다. 시간 이동: x(t−t₀)의 변환은 X(ω)에 e^(−jωt₀)를 곱한 것으로, 크기 |X|는 그대로이고 위상만 기울어진다. 시간 스케일: x(at)의 변환은 (1/|a|)X(ω/a)로, C3 에서 본 역수 관계가 그대로 성질이 된다. 신호를 시간에서 압축하면 주파수에서 팽창한다.

왜 이것이 강력한가

합성곱 정리가 강력한 까닭은, 주파수 영역에서 LTI 시스템이 각 주파수를 따로따로 다루기 때문이다. 정현파를 LTI 에 넣으면 같은 주파수의 정현파가 H(ω) 만큼 크기와 위상이 바뀌어 나온다. 곧 정현파는 LTI 시스템의 고유함수이고, H(ω) 는 그 고윳값이다. 그래서 복잡한 합성곱이 주파수마다 독립된 곱 하나로 분해된다. 각 주파수에서 H(ω) 가 무엇을 하는지가 다음 유닛의 주제, 주파수 응답이다.

첫 화면으로 돌아가서

h 의 폭을 움직일 때마다 시간 출력 y = x ∗ h 와 주파수 출력 Y = X · H 가 늘 함께 변했고, 목표에도 같이 닿았다. 둘은 같은 신호를 시간과 주파수에서 본 한 쌍이기 때문이다. 시간에서는 미끄러뜨려 더하는 합성곱이었지만, 주파수에서는 두 스펙트럼을 점마다 곱하는 일이었다. 어려운 연산을 쉬운 연산으로 바꾸는 이 합성곱 정리가 푸리에가 공학에서 그토록 쓰이는 핵심 이유다.

푸리에 변환 성질은 변환을 계산 도구로 만든다. 핵심은 합성곱 정리: y = x ∗ h ⟺ Y(ω) = X(ω) H(ω), 여기서 H(ω) = FT{h} 가 주파수 응답이다. 또 선형성(ax + by ⟺ aX + bY), 시간 이동(x(t − t₀) ⟺ e^−jωt₀ X(ω), 크기 불변), 시간 스케일(x(at) ⟺ (1/|a|) X(ω/a))이 있다. 합성곱 정리는 LTI 출력을 곱셈으로 바꾸며, 정현파가 LTI 의 고유함수임을 뜻한다.

다음 유닛으로

합성곱 정리는 시스템의 작용을 H(ω) 한 함수로 압축했다. 다음 유닛 주파수 응답에서는 그 H(ω) 자체를 들여다본다. 크기 |H(ω)| 는 각 주파수를 얼마나 키우거나 줄이는지, 위상 ∠H(ω) 는 각 주파수를 얼마나 지연시키는지를 말한다. 정현파 하나를 넣어 나온 정현파의 진폭비와 위상차를 재면, 시스템이 어떤 주파수를 통과시키고 어떤 주파수를 막는지가 한눈에 드러난다.