SC · 푸리에

푸리에 변환 성질

푸리에 변환의 가장 강력한 성질은 시간 영역의 합성곱이 주파수 영역의 곱셈이 된다는 것이다. B 장에서 공들여 미끄러뜨리며 더하던 합성곱이 주파수에서는 두 스펙트럼을 점마다 곱하는 일로 바뀌는 것을 직접 확인해요.

합성곱과 곱셈이 함께 움직인다

위 그림은 폭 1인 사각 펄스 x와 폭을 바꿀 수 있는 사각 펄스 h를 합성곱한 시간 출력 y = x ∗ h이고, 금색 점선이 그 목표다. 아래 그림에서는 흐린 회색 X와 흐린 파랑 H를 점마다 곱한 초록 곡선이 출력 스펙트럼 Y = X·H예요. h의 폭을 움직이면 위의 합성곱과 아래의 곱이 늘 함께 바뀌고, 위 그림의 출력이 목표에 닿을 때 아래의 곱도 그 목표의 스펙트럼이 된다.

시간 출력 y = x ∗ h목표

스펙트럼 Y = X · H

h의 폭2.00

두 영역의 출력

y = x ∗ h   ↔   Y = X · H

h의 폭이 목표와 달라 시간 출력이 어긋나고, 아래 곱 Y도 그만큼 달라진다. 두 영역은 같은 사실의 두 얼굴이라 늘 함께 움직여요.

어긋남

합성곱이 곱셈이 된다

푸리에 변환의 핵심 성질은 합성곱 정리다. 시간 영역에서 y = x ∗ h이면 주파수 영역에서는 Y(ω) = X(ω) H(ω)이고, 미끄러뜨려 더하는 적분이 같은 주파수끼리의 단순한 곱으로 바뀌어요. 여기서 H(ω)는 임펄스 응답 h의 푸리에 변환, 곧 시스템의 주파수 응답이다. B 장에서 본 LTI 출력 계산이 주파수에서는 곱셈 한 번으로 끝난다.

관찰x ∗ h ↔ X · H

시간 합성곱은 주파수 곱셈.

고르기a x + b y ↔ ?

합과 스케일은 그대로 옮겨간다.

빈칸x(t − t₀) ↔ X(ω) · ?

시간 이동은 위상 e^−jωt₀.

스스로x(at) ↔ ?

시간 압축은 주파수 팽창.

이동은 위상, 스케일은 역수

다른 성질들도 변환을 계산 도구로 만든다. 선형성에 따라 입력의 합과 스케일은 변환에서도 그대로 더해지고 곱해진다. 시간 이동을 보면 x(t − t₀)의 변환은 X(ω)에 e^(−jωt₀)를 곱한 것이라, 크기 |X|는 그대로이고 위상만 주파수에 비례해 기울어져요. 시간 스케일에서는 x(at)의 변환이 (1/|a|)X(ω/a)라서 C3에서 본 역수 관계가 그대로 성질이 되고, 신호를 시간에서 압축하면 주파수에서 늘어난다.

왜 이것이 강력한가

합성곱 정리가 강력한 까닭은 주파수 영역에서 LTI 시스템이 주파수 하나하나를 따로 다루기 때문이다. 정현파를 LTI 시스템에 넣으면 같은 주파수의 정현파가 H(ω)만큼 크기와 위상이 바뀌어 나오니, 정현파는 LTI 시스템의 고유함수이고 H(ω)는 그 고윳값이에요. 그래서 복잡한 합성곱이 주파수마다 독립된 곱 하나로 갈라진다. 주파수마다 H(ω)가 무엇을 하는지가 다음 유닛의 주제인 주파수 응답이다.

첫 화면으로 돌아가서

h의 폭을 움직일 때마다 시간 출력 y = x ∗ h와 주파수 출력 Y = X·H가 늘 함께 바뀌었어요. 둘은 같은 신호를 시간과 주파수에서 본 한 쌍이기 때문이다. 시간에서는 미끄러뜨리며 더하는 합성곱이었지만 주파수에서는 두 스펙트럼을 점마다 곱하는 일이었고, 폭이 같아진 순간 삼각형과 sinc²이라는 한 쌍이 나왔다. 어려운 연산을 쉬운 연산으로 바꾸는 이 합성곱 정리가 푸리에가 공학에서 그토록 쓰이는 핵심 이유다.

푸리에 변환 성질은 변환을 계산 도구로 만든다. 핵심은 합성곱 정리, 곧 y = x ∗ h ⟺ Y(ω) = X(ω) H(ω)이고, 여기서 H(ω) = FT{h}가 주파수 응답이다. 또 선형성(ax + by ⟺ aX + bY), 시간 이동(x(t − t₀) ⟺ e^−jωt₀ X(ω), 크기 불변), 시간 스케일(x(at) ⟺ (1/|a|) X(ω/a))이 있다. 합성곱 정리는 LTI 출력을 곱셈으로 바꾸며, 정현파가 LTI 시스템의 고유함수라는 뜻이기도 하다.

다음 유닛으로

합성곱 정리는 시스템이 하는 일을 H(ω) 한 함수에 담았다. 다음 유닛 주파수 응답에서는 그 H(ω) 자체를 들여다보는데, 크기 |H(ω)|는 주파수마다 얼마나 키우거나 줄이는지를, 위상 ∠H(ω)는 주파수마다 얼마나 늦추는지를 나타내요. 정현파 하나를 넣어 나온 정현파의 진폭비와 위상차를 재면, 시스템이 어떤 주파수를 통과시키고 어떤 주파수를 막는지가 한눈에 드러난다.