주파수 응답

어떤 주파수가 통과하는가

위 그림은 같은 주파수의 입력(흐림)과 출력(금색) 정현파이고, 출력은 입력을 |H|배로 바꾸고 ∠H만큼 밀어 놓은 것이다. 아래 그림은 일차 저역통과 시스템의 크기 응답 |H(ω)| 곡선이며, 점이 지금 주파수예요. 주파수를 올리면 낮은 주파수는 거의 그대로 지나가고, 차단 주파수 ωc = 2를 넘어서면서 출력이 줄어들고 뒤로 밀린다.

정현파 하나로 시스템을 묻다

C4에서 정현파는 LTI 시스템의 고유함수였다. 주파수가 ω인 정현파를 넣으면 같은 주파수의 정현파가 나오되 크기는 |H(ω)|배가 되고 위상은 ∠H(ω)만큼 밀려요. 그래서 정현파 하나를 넣어 나온 정현파의 진폭비를 재면 그 주파수의 |H(ω)|를, 위상차를 재면 ∠H(ω)를 바로 얻는다. 모든 주파수에서 이렇게 모으면 주파수 응답 H(ω) 전체가 된다.

크기는 이득, 위상은 지연

크기 |H(ω)|는 이득이라서, 1보다 크면 그 주파수를 키우고 1보다 작으면 줄인다. 위상 ∠H(ω)는 그 주파수가 얼마나 밀리는지를 나타내며, 음의 위상은 출력이 늦게 나오는 지연을 뜻해요. 이 화면의 일차 저역통과 시스템은 |H(ω)| = 1/√(1 + (ω/2)²), ∠H(ω) = −arctan(ω/2)라서, 낮은 주파수는 이득 1 · 위상 0에 가깝게 통과시키고 높은 주파수일수록 이득은 0으로, 위상은 −90°로 다가간다.

통과대와 차단대

크기 응답의 모양이 곧 필터의 종류다. |H|가 1에 가까운 주파수 구간은 통과대, 0에 가까운 구간은 차단대이고, 둘의 경계는 보통 크기가 1/√2, 곧 −3dB로 떨어지는 차단 주파수 ωc로 잡아요. 이 점에서 출력 전력이 입력의 절반이라 반전력점이라고도 부른다. 저역통과 · 고역통과 · 대역통과는 모두 통과대가 어디에 있느냐로 갈리고, 다음 유닛은 이 |H|를 넓은 주파수 범위에서 읽는 로그 그림이다.

첫 화면으로 돌아가서

입력 주파수를 올리자 출력 정현파가 점점 작아지고 뒤로 밀렸어요. 작아진 정도가 크기 |H(ω)|, 곧 이득이었고, 밀린 정도가 위상 ∠H(ω), 곧 지연이었다. 낮은 주파수는 거의 그대로 지나갔고(통과대) 높은 주파수는 크게 줄었으며(차단대), 그 사이 크기가 1/√2로 떨어지는 −3dB 점이 ωc = 2의 차단 주파수였다. 주파수 응답은 시스템이 어떤 주파수를 통과시키고 어떤 주파수를 막는지를 크기와 위상 두 장에 적은 그림이다.

크기 응답을 보통 눈금으로 그리면 통과대의 작은 차이와 차단대의 급한 감쇠를 한 그림에 담기 어렵다. 다음 유닛 보드선도 입문에서는 크기를 데시벨로, 주파수를 로그 축으로 그려요. 그러면 넓은 주파수 범위가 한눈에 들어오고, 일차 시스템의 감쇠가 주파수 10배마다 −20dB인 직선으로 곧게 펴진다. 곡선이던 응답이 직선 조각 몇 개로 단순해지는 것이 보드선도의 힘이다.