주파수 응답

어떤 주파수가 통과하는가

위는 같은 주파수의 입력(흐림)과 출력(진함) 정현파다. 출력은 입력을 |H|배 키우고 ∠H만큼 민 것이다. 아래는 크기 응답 |H(ω)| 곡선이고 점이 현재 주파수다. 주파수를 올려 보라. 낮은 주파수는 통과하고 높은 주파수는 줄어들며 뒤로 밀린다.

정현파 하나로 시스템을 묻다

C4 에서 정현파는 LTI 시스템의 고유함수였다. 주파수 ω 인 정현파를 넣으면 같은 주파수의 정현파가 나오되, 크기는 |H(ω)| 배가 되고 위상은 ∠H(ω) 만큼 밀린다. 그래서 정현파 하나를 넣어 나온 정현파의 진폭비를 재면 |H(ω)|, 위상차를 재면 ∠H(ω) 를 그 주파수에서 직접 얻는다. 모든 주파수에서 이렇게 모으면 주파수 응답 H(ω) 전체가 된다.

크기는 이득, 위상은 지연

크기 |H(ω)| 는 이득이다. 1 보다 크면 그 주파수를 키우고, 1 보다 작으면 줄인다. 위상 ∠H(ω) 는 그 주파수가 얼마나 밀리는지다. 음의 위상은 출력이 뒤늦게 나오는 지연을 뜻한다. 이 저역통과 시스템은 낮은 주파수를 거의 그대로(이득 1, 위상 0) 통과시키고, 높은 주파수일수록 크게 줄이며(이득 0 으로) 더 많이 지연시킨다(위상 −90도로).

통과대와 차단대

크기 응답의 모양이 곧 필터의 종류다. |H| 가 1 에 가까운 주파수 구간은 통과대, 0 에 가까운 구간은 차단대다. 둘의 경계는 보통 크기가 1/√2 로, 곧 −3dB 로 떨어지는 차단 주파수 ωc 로 잡는다. 이 점에서 출력 전력이 입력의 절반이라 반전력점이라고도 한다. 저역통과·고역통과·대역통과는 모두 이 통과대가 어디 있느냐로 갈린다. 다음 유닛은 이 |H| 를 넓은 주파수 범위에서 읽는 로그 그림이다.

첫 화면으로 돌아가서

입력 주파수를 올리자 출력 정현파가 점점 작아지고 뒤로 밀렸다. 작아진 정도가 크기 |H(ω)|, 곧 이득이었고, 밀린 정도가 위상 ∠H(ω), 곧 지연이었다. 낮은 주파수는 거의 그대로 통과했고(통과대), 높은 주파수는 거의 사라졌으며(차단대), 그 사이 크기가 1/√2 로 떨어지는 −3dB 점이 차단 주파수였다. 주파수 응답은 시스템이 어떤 음을 통과시키고 어떤 음을 막는지를 적은 한 쌍의 그림, 크기와 위상이다.

크기 응답을 보통 눈금으로 그리면 통과대의 작은 차이와 차단대의 급한 감쇠를 한 그림에 담기 어렵다. 다음 유닛 보드선도 입문에서는 크기를 데시벨로, 주파수를 로그 축으로 그린다. 그러면 넓은 주파수 범위가 한눈에 들어오고, 1차 시스템의 감쇠가 10 배 주파수마다 −20dB 인 직선으로 곧게 펴진다. 곡선이던 응답이 몇 개의 직선 조각으로 단순해지는 것이 보드선도의 힘이다.