信号・システム・制御

連続/離散、周期/非周期。候補ラベルを信号に重ね、二つの独立した質問で種類を決める。

インパルス · ステップ · 指数。ステップはインパルスの累積、インパルスはステップの導関数だ。積分上限を掃いてステップが積み上がるのを見る。

時間移動 · スケール · 反転。二つのスライダーで信号を目標波形に重ね、x(at − b) を内側から読む。

すべての信号は偶部分と奇部分の和に一意に分かれる。信号を自身の反転と重ねて二つを取り出し、エネルギー信号と電力信号を見分ける。

線形 · 時不変 · 因果。非線形の強さを下げ二つの経路が重なる瞬間を探し、線形性が重ね合わせであることを確かめ、LTI へつなぐ。

LTI システムは一つのインパルスへの応答 h(t) で完全に定まる。インパルスの大きさと位置を動かし、出力が常に h の複製であることを見る。

畳み込みは応答を裏返して滑らせ、入力と掛けて重なりの面積を測る。スライド位置を動かし、重なりが出力曲線を描くのを見る。

限界点で時間を区間に分け、各区間で積を積分する。二つの矩形パルスの畳み込みが区間ごとの式で三角形になるのを見る。

安定·因果はインパルス応答 h の形に書かれている。減衰率を動かし、累積 |h| 面積が天井に届く瞬間が安定であることを見る。

ステップ応答はインパルス応答の累積積分で、微分すれば戻る。時刻を大きくし、s が最終値(DC ゲイン)に落ち着くのを見る。

周期信号は基本周波数の整数倍の倍音の和だ。倍音の項数を増やし、部分和が矩形波を取り戻すこととギブス現象を見る。

スペクトルは信号を周波数軸で見た図だ。周波数スライダーで正弦波のスペクトル線を動かし、時間と周波数が一対であることを見る。

周期を無限に伸ばすと離散倍音線が連続スペクトルに溶ける。パルス幅を動かし、矩形 ↔ sinc の時間·周波数逆数関係を見る。

時間領域の畳み込みが周波数領域の掛け算になる。h の幅を動かし、y=x∗h と Y=X·H が一緒に変わる畳み込み定理を見る。

周波数応答 H(ω) の大きさは利得、位相は遅延だ。入力周波数を上げ、出力正弦波が小さくなり遅れる通過帯・遮断帯を見る。

ボード線図は大きさを dB、周波数を対数軸で描き、曲線を直線漸近線に伸ばす。コーナー周波数を動かし −20dB/十倍の傾きを見る。

フィルタリングはスペクトルにフィルタを掛ける作業だ。種類ボタンとカットオフスライダーで通過帯を目標の帯に合わせ、帯域幅と四つのフィルタを見る。

ラプラス変換はフーリエに収束因子 e^(−σt) を加え jω を s=σ+jω に広げる。σ を動かし、増える信号が収束する ROC を見る。

s 平面上の極の位置がシステムの行動だ。σ·ω の二スライダーで極を動かし、左半面なら安定、右半面なら発散を見る。

伝達関数 H(s)=出力/入力 はシステムそのものだ。係数を動かし、微分方程式・H(s)・極・インパルス応答が一体で動くのを見る。

直列は積、並列は和、フィードバックは H/(1+HG)。フィードバック利得を上げ不安定プラントの極を左半面へ移して安定させる。

極の位置が応答の形を定める。1次は時定数 τ の指数、2次は減衰比 ζ と ωn が過・臨界・不足減衰を分ける。ζ を合わせ行き過ぎなしで最速で整定させる。

連続信号を標本から復元するには、標本速度が最高周波数の二倍より速くなければならない(ナイキスト)。標本速度を動かしエイリアシングと復元条件を見る。

折り返し周波数 fs/2 は鏡だ。その上の真の周波数は |f − fs·round(f/fs)| に折り返り低い偽物に見える。f を上げ折り返し三角波と車輪・モアレ・音程歪みを見る。

離散信号のラプラス変換。一こまの遅れ = z⁻¹ 倍で、極 z = r·e^(jθ) がモード rⁿ cos(θn) を定める。安定境界は単位円(|z|<1)。z 平面の極を動かす。

離散 LTI はインパルス応答 h[n] 一つで定まり、出力は離散畳み込み Σ h[k]x[n−k]。平滑の強さで h[n] を伸ばし雑音を削る。FIR・IIR と単位円安定。

DTFT は離散信号のスペクトル(単位円上の z 変換)、DFT はそれを N 点で標本した計算可能版(FFT)。信号周波数が目盛りに合えば一点、ずれればスペクトルリーケージ。

極を解かず特性方程式の係数だけで安定を判定する。ラウス表の第一列の符号変化数 = 右半面の極の数。利得 K を動かし極が虚軸を越える境界を見る。

閉ループ極(1+KG=0 の根)が利得 K の変化で s 平面に描く道。開ループ極から零点へ向かい虚軸を越える。極を目標 ζ=0.5 線に乗せ設計利得を読む。

開ループのボード線図で不安定(−1 条件)までの距離を位相余裕とゲイン余裕で読む。利得 K を動かし二つの余裕が K=6 で 0 になるのを見る(F1·F2 と同じ境界)。

開ループ L(jω) を複素平面に描き、−1 を囲む回数で安定を判定する(Z=N+P)。利得 K を動かし −K/6 交差が −1 を越え曲線が −1 を囲むのを見る(K=6 境界)。

プラント G=1/((s+1)(s+2)) に PID 制御器 u=Kp·e+Ki·∫e+Kd·de/dt をかけ階段応答を作る。比例だけでは定常状態誤差が残り、積分がそれを 0 に、微分が振動を抑える。三つの利得を動かし速く正確で滑らかな応答に整える(閉ループ特性式 s³+(3+Kd)s²+(2+Kp)s+Ki)。

F1~F4 と同じプラントに補償器 C(s)=(1+αTs)/(1+Ts) を挟み、ボード線図の位相・利得を形作る。進み(α>1)は ω_m=1/(T√α) で位相を φ_max=asin((α−1)/(α+1)) だけ持ち上げ位相余裕を増やし(微分項のように)、遅れ(α<1)は低周波利得を増やし定常状態誤差を減らす(積分項のように)。α·ω_m を動かして山を交差周波数に載せ PM≈11°→良い値へ引き上げる。

閉ループが目標を追えず残す誤差を最終値定理 e_ss=lim_{s→0} s·R/(1+L) で読む。入力(階段・ランプ・放物線)とシステム型(0・1・2形=原点の極の数)ボタンと利得 K で追従誤差 e(t) を作り、システム型>入力次数なら 0、同じなら有限(1/(1+Kp)·1/Kv·1/Ka)、低ければ発散を見る。1形 K/(s(s+1)(s+2)) は F1~F6 のプラント。制御の章の締め。