SC · LTI と畳み込み

LTI システムの性質

LTI システムの性質はインパルス応答 h の形に書かれている。h がいつ始まるかで因果性を、h の大きさの総面積が有限かで安定性を読む。減衰率を動かし、安定と不安定の境界を自分で越えてみる。

累積面積は天井に届くか

上は因果インパルス応答 h(t)=eᵃᵗ(t≥0)だ。下は |h| を左から積んだ累積面積だ。減衰率 a を下げ、この面積が無限に伸びる代わりに有限の天井に届くようにせよ。その天井こそ安定だ。

インパルス応答 h(t)=eᵃᵗ

累積 |h| 面積天井 1/|a|

減衰率 a0.40

総面積と判定

∫ |h| dt = ∞

a > 0 なので h が永遠に伸びる。|h| の累積面積が天井なく発散し ∫|h| = ∞。小さな入力でも出力を暴走させる不安定なシステムだ。

不安定

因果性は h がいつ始まるか

インパルスは t=0 に入る。因果システムはそれ以前に反応できないので、インパルス応答は t<0 で 0 でなければならない。すなわち h(t)=0, t<0。この例の h は t≥0 でのみ生きているので常に因果だ。h のグラフが 0 より左で静かかどうかを見るだけで因果性が読める。

安定性は |h| の総面積

BIBO 安定は有界入力が常に有界出力を生むことを意味する。出力は入力と h の畳み込みなので、出力の大きさは入力の最大の大きさに ∫|h(t)|dt を掛けた値で抑えられる。だからこの積分が有限でなければ安定でない。条件は ∫|h(t)|dt < ∞、すなわち h が絶対積分可能であることだ。

観察h(t) = 0, t < 0

因果なら t<0 で h は 0。

選ぶstable: ∫ |h(t)| dt ?

安定は絶対積分が有限。

空欄∫₀^∞ eᵃᵗ dt = ?

a<0 なら積分値は −1/a = 1/|a|。

自分でstable ⟺ a ?

指数応答は a<0 のときだけ安定。

極の符号で読む

h=eᵃᵗu(t) では積分 ∫₀^∞ eᵃᵗ dt は a<0 のときだけ有限で、その値は 1/|a| だ。だから安定条件は単純に a<0。この a は次章で学ぶ s 平面の極の位置で、極が虚軸の左(実部<0)にあれば安定という規則につながる。h の形から読んでいた性質が極の位置に書き換えられるのだ。

最初の画面に戻ると

減衰率 a を 0 より下げると、累積 |h| 面積が止まらず伸びていたものから天井 1/|a| に届いて止まるものに変わった。その天井の存在、すなわち ∫|h| が有限であることがまさに安定だ。因果性はただで得た。h が t<0 でずっと 0 だったからだ。LTI システムの二つの核心的性質は、こうしてインパルス応答一つの形、いつ始まり面積が有限かにすべて書かれている。

LTI システムの性質はインパルス応答 h から直接読む。因果 ⟺ h(t)=0, t<0(インパルス前に反応なし)。BIBO 安定 ⟺ ∫|h(t)|dt < ∞(絶対積分可能)、出力が入力の最大の大きさかけるこの積分で抑えられるからだ。指数応答 h=eᵃᵗu(t) は常に因果で a<0 のときだけ安定、これは次章の s 平面の極の位置(実部<0)につながる。

次のユニットへ

インパルス応答がシステムをすべて語るなら、その応答を一度積分したものは何か。次のユニットステップ応答では入力に単位ステップ u(t) を入れ、出力がインパルス応答の累積積分であることを見る。安定なシステムのステップ応答は有限の最終値に落ち着き、その値と整定の速さが実務でシステムを測る物差しになる。今見た ∫|h| の有限性こそ、その整定を保証する。