SC · 信号の基礎
基本信号
インパルス · ステップ · 指数は信号のアルファベットだ。別々に覚えず、ステップはインパルスの累積という一つの関係で結ぶ。
積分上限を掃いてステップを積む
中央の狭いパルスは面積 1 のインパルス近似だ。スライダーで積分上限 t を右へ動かすと、パルス下の面積が積もり、その累積値が薄い目標ステップの上に登る。
目標ステップ uインパルス δ
積分上限 t-2.00
累積面積 = ステップ値
∫ δ = 0.00
上限がパルスの左にあると、まだインパルスに出会っていない。累積面積は 0、ステップは始まってもいない。
面積 0
インパルスは面積 1 の一点
インパルス δ(t) は、幅を 0 に狭め高さを限りなく上げつつ面積を 1 に留めた極限だ。だから値ではなく面積で定義する。他の信号と掛けて積分すると、その信号の一点の値だけを取り出す(抽出性質)。
ステップはインパルスの累積
単位ステップ u(t) は t<0 で 0、t≥0 で 1 だ。これはインパルスを左から t まで積分した値とまったく同じだ。逆にステップを微分すると、跳ぶ瞬間だけ立つインパルスになる。積分と微分が二つを一対に結ぶ。
観察u(t) = ∫ δ(τ) dτ
ステップはインパルスを左から累積したもの。
選ぶδ(t) = ?
ステップを微分すると跳びでインパルス。
空欄∫ x(t) δ(t − t₀) dt = ?
インパルスは一点の値だけ取り出す。
自分でd/dt eᵃᵗ = ?
指数の導関数は a 倍の自分自身。
指数は変化率が自分自身
指数信号 eᵃᵗ は導関数が a 倍の自分自身だ。だから a の符号が運命を分ける。a>0 なら爆発的に増え、a<0 なら 0 へ収まり、a=0 なら定数だ。システムの自然応答は常にこの形で現れる。
最初の画面に戻ると
スライダーが掃き上げた累積面積こそステップだった。上限がインパルスを横切る間、面積は 0 から 1 へ満ちてステップの跳びを描き、通り過ぎると 1 に固定された。インパルスとステップは一度の積分で結ばれた一対で、指数は変化率が自分自身の三つ目の文字だ。この三つがこれからのあらゆる信号を組む煉瓦になる。
三つの基本信号は微積分で結ばれる。インパルス δ(t) は面積 1 で定義され、抽出性質 ∫ x(t) δ(t − t₀) dt = x(t₀) を持つ。単位ステップ u(t) はインパルスの累積、すなわち u(t) = ∫ δ(τ) dτ で、逆に δ(t) = du/dt だ。指数 eᵃᵗ は導関数が a 倍の自分自身で、a の符号で成長 · 定数 · 減衰が分かれる。
次のユニットへ
インパルスは次章の主役だ。インパルス応答はシステムに一つのインパルスを入れたときの出力で、そこから畳み込みがあらゆる入力の出力をその応答で計算する道を開く。指数はラプラス · フーリエでシステムを解く試験信号になる。次のユニット信号の演算では、信号を時間軸で押し伸ばす方法を学ぶ。