SC · LTI と畳み込み

畳み込みの計算

畳み込みを手で求めるには、重なりが変わる限界点で時間を区間に分け、各区間で積を別々に積分する。二つの矩形パルスの畳み込みがどのように三角形になるかを区間ごとに自分で確かめる。

区間が変われば式も変わる

上は固定入力と裏返して滑らせたパルス、その積の緑の面積だ。下は結果の三角形だ。スライド位置 t を動かすと、有効な区間とその区間の閉じた式が変わる。限界点 t=0, 1, 2 で式がどう分かれるか見よ。

入力パルス裏返したパルス

出力 y(t) = 三角形

スライド位置 t-0.40

t < 0

y = 0

0 ≤ t ≤ 1

y = t

1 ≤ t ≤ 2

y = 2 − t

t > 2

y = 0

有効区間と式

t < 0   y = 0  =  0.00

二つのパルスが重ならない。積分区間が空なので y(t) = 0 だ。t < 0 か t > 2 の外側の区間だ。

重なりなし

限界点が区間を分ける

裏返して滑らせたパルスの二つの縁が固定パルスの二つの縁を通る瞬間が限界点だ。この例では t=0 で重なりが始まり、t=1 で完全に重なり、t=2 で重なりが終わる。限界点の間では積分区間の限界が max(0, t−1) と min(1, t) で滑らかに定まる。

各区間で積分する

二つのパルスの高さがともに 1 なので積も重なる区間で 1 だ。だから積分は重なる区間の長さになる。0 ≤ t ≤ 1 では長さが t なので y=t と上がり、1 ≤ t ≤ 2 では長さが 2−t なので y=2−t と下がる。二直線が t=1 で出会い高さ 1 の頂点を成す。

観察y(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ

重なる区間の長さを積分で測る。

選ぶ1 ≤ t ≤ 2: y = ?

第二区間では長さが減って 2−t。

空欄y(1) = ?

完全に重なる t=1 で頂点。

自分でwidth = 1 + 1 = ?

出力の幅は二つの入力幅の和。

断片はつながり、幅は加わる

区間ごとの式は限界点で値が等しく、切れ目なくつながる。だから畳み込みは常に連続関数だ。出力の幅は二つの入力の幅の和だ。ここでは 1+1=2。二つのパルスの幅が違えば三角形でなく上辺が平らな台形になるが、区間を分けて積分する手順は同じだ。

最初の画面に戻ると

三角形の三つの直線断片は、それぞれ一つの区間の積分から出た。上がる断片は 0 ≤ t ≤ 1 の y=t、下がる断片は 1 ≤ t ≤ 2 の y=2−t、両端の 0 は重なりのない外側の区間だ。三角形の角はちょうど限界点 t=0, 1, 2 に置かれたが、その t ごとに滑るパルスの縁が固定パルスの縁を通ったからだ。畳み込みの計算とは結局、この限界点を見つけて区間を分け、各区間を積分することだ。

畳み込みを手で計算するには、重なる領域が変わる限界点(滑る縁が固定縁を通る t)を見つけて時間軸を区間に分け、各区間で適切な限界で積を積分する。結果は区間ごとに式の異なる連続関数だ。矩形 ∗ 矩形 = 三角形で、出力の幅は二つの入力幅の和だ。幅が違えば台形になる。

次のユニットへ

今や畳み込みを絵としても式としても扱える。次のユニットLTI の性質では、インパルス応答 h の形だけを見てシステムの性質を読む。h が t<0 で 0 なら因果、h を積分した値が有限なら安定だ。直列・並列につないだシステムは畳み込みの結合・分配法則で一つの h にまとまり、いま学んだ区間ごとの積分がその合成応答を求める道具になる。