SC · フーリエ

フーリエ級数

周期信号は基本周波数の整数倍の正弦波、すなわち倍音の和に分かれる。倍音を一つずつ足すほど部分和が元の矩形波の形をどう取り戻すかを自分で見る。

倍音を足して矩形波を作る

金色の点線が目標の矩形波だ。青い曲線は奇数倍音をいくつか足した部分和で、下は各倍音の強さだ。倍音の項数を増やし、部分和が矩形波にどれだけ近づくか見よ。

部分和目標の矩形波

倍音の強さ bₖ = 4/kπ

倍音の項数

部分和と近さ

(4/π) Σ sin(kω₀t)/k,  k ≤ 1

項が一つだけなので滑らかな正弦が一つだ。基本倍音だけでは矩形波の急な縁を全く追えない。

一項

周期信号は倍音の和

周期 T の信号は基本周波数 ω₀ = 2π/T とその整数倍 2ω₀, 3ω₀, … の正弦波だけからなる。この整数倍成分を倍音と呼ぶ。だからどんな周期信号も定数項たす倍音の和として書ける。音楽の和音のように、基本音と倍音が集まって一つの波形を成す。

観察f(t) = a₀ + Σ [aₖ cos(kω₀t) + bₖ sin(kω₀t)]

周期信号は定数たす倍音の和。

選ぶω₀ = ?

基本周波数は 2π 割る周期。

空欄bₖ = ? (k odd)

矩形波の正弦係数は 4/kπ。

自分でharmonics at ?

倍音は基本周波数の整数倍。

項を足すほど近づく

部分和は最初の数倍音だけを足した近似だ。項を増やすと高い周波数の倍音が急な変化を埋め、縁が鋭くなる。矩形波は奇数倍音だけを持ち、k 番目の倍音の強さは 4/kπ で、周波数が高いほど小さい。ただし不連続のある信号では、跳びの近くのオーバーシュートが項を増やしても約 9% で消えない。これがギブス現象だ。

係数は各倍音の強さ

各倍音の前に付く数、すなわちフーリエ係数がその倍音をどれだけ混ぜるかを決める。矩形波は偶奇対称(A4)で奇関数なのでコサインなしにサインだけが出て、偶数倍音は 0 だ。この係数を周波数に沿って並べると、その信号のスペクトルになる。時間領域の一つの波形が周波数領域の数本の棒に変わるわけで、それが次のユニットの主題だ。

最初の画面に戻ると

項が一つのとき部分和は孤独な正弦が一つで矩形波から遠かった。奇数倍音を足すと縁が急になり頂が平らになって矩形波に近づき、不連続点には消えない小さなギブスの耳が残った。下の棒は各倍音の強さ 4/kπ で、周波数が高いほど短かった。周期信号を倍音に分けるこの分解がフーリエ級数で、その棒を周波数軸に立てた図がスペクトルだ。

フーリエ級数は周期 T の信号を基本周波数 ω₀ = 2π/T の整数倍である倍音の和として書く。f(t) = a₀ + Σ [aₖ cos(kω₀t) + bₖ sin(kω₀t)]。各フーリエ係数 aₖ, bₖ がその倍音の強さだ。矩形波は奇関数なのでサインだけ残り bₖ = 4/kπ(奇数 k)、偶数倍音は 0。項を増やすほど部分和は近づくが、不連続では約 9% のオーバーシュート(ギブス現象)が残る。

次のユニットへ

倍音ごとに強さがあると見たので、次はその強さ自体を図にする番だ。次のユニットスペクトルでは、時間軸の波形の代わりに、周波数軸の上に各倍音の大きさを棒で立てる。すると矩形波は奇数周波数だけに立つ数本の棒に見える。同じ信号を時間で見るか周波数で見るか、二つの図が一対を成すフーリエの核心がそこで開く。