SC · LTI と畳み込み

インパルス応答

LTI システムは、一つのインパルスへの応答さえ分かればすべて分かる。その応答 h(t) がシステムの指紋であること、そしてインパルスを大きくし動かせば応答もそのまま従うことを自分で確かめる。

出力を目標応答に重ねる

赤いインパルスを一つシステムに入れると青い応答が出る。点線が合わせるべき目標応答だ。インパルスの大きさ a と位置 t₀ を動かし、出力 a·h(t−t₀) を目標の上にぴったり重ねよ。

入力 a·δ(t−t₀)出力 a·h(t−t₀)目標

インパルスの大きさ a0.50

インパルスの位置 t₀-0.60

現在の出力

y(t) = 0.50 h(t − -0.60)

出力の大きさか位置が目標と違う。出力は常に同じ形 h の複製だから、大きさ a と位置 t₀ の二つを合わせればよい。

大きくずれ

インパルス一つでシステムを叩く

システムに幅が 0 で面積が 1 のインパルス δ(t) を一度入れて出る出力をインパルス応答 h(t) と呼ぶ。鐘を一度打てばその鐘固有の響きが出るように、h(t) はそのシステムだけの固有の反応だ。これがシステムの指紋だ。

大きさと位置はそのまま従う

システムが線形なのでインパルスを a 倍すれば応答も a 倍になり、時不変なのでインパルスを t₀ 遅らせれば応答も形そのままに t₀ 遅れる。合わせると a·δ(t−t₀) → a·h(t−t₀) だ。だから出力は常に同じ h を大きさと位置だけ変えた複製だ。

観察δ(t) → h(t)

インパルスを入れるとインパルス応答が出る。

選ぶa δ(t) → ?

大きさは応答にそのまま掛かる。

空欄δ(t − t₀) → ?

遅れたインパルスは遅れた応答。

自分でa δ(t − t₀) → ?

大きさと位置を同時に適用する。

だから任意の入力も予測できる

どんな入力も細かく刻めば、時刻ごとに大きさの違うインパルスが並んだものと見なせる。抽出性質がそれを保証する。システムが LTI なら各インパルスは自分の位置に大きさ分の h の複製を残し、全出力はこれらの複製をすべて足した重ね合わせだ。この足し合わせこそ次のユニットの畳み込みだ。

最初の画面に戻ると

目標応答に重ねるのに必要な取っ手はたった二つ、大きさ a と位置 t₀ だけだった。出力の形には手を出せなかったが、その形こそシステムの固定された指紋 h だからだ。インパルスを大きくすれば応答が大きくなり、動かせば動くだけで、形は常に h だ。この一つの h を知れば LTI システムのすることをすべて知る。次は任意の入力をインパルスに刻みこの応答を足す畳み込みだ。

インパルス応答 h(t) は、インパルス δ(t) を入れたとき LTI システムが出す出力だ。線形性と時不変性により a·δ(t − t₀) → a·h(t − t₀)、すなわち出力は h のスケール·移動した複製だ。だから一つの h が LTI システムを完全に定める。任意の入力の出力は、入力を成すインパルスに対する h の複製の重ね合わせで、これが畳み込みにつながる。

次のユニットへ

インパルス応答は LTI システムのすべてを収めた一つの信号だ。次のユニット畳み込みの直観では、任意の入力をインパルスの列と見て、各インパルスが残した h の複製を重ねて滑らせながら足して出力を作る。今見た a·h(t−t₀) の複製一つが、その和の一片だ。畳み込みは結局、このユニットの重ね合わせを連続で行うことだ。