スペクトル

線を目標周波数に合わせる

上は純粋な正弦波の時間波形で、下はそのスペクトルだ。正弦波は周波数の位置に線一本で現れる。周波数スライダーを動かし、青い線を点線の目標周波数にぴったり合わせよ。時間の振動速度と線の位置が一緒に変わる。

スペクトルは周波数の住所録

スペクトルは横軸が周波数、縦軸が大きさの図だ。信号の中にどの周波数がどれだけ入っているかを、その周波数の位置に立てた棒の高さで示す。純粋な正弦波は周波数が一つだけなので線一本で現れ、その線の横位置が周波数、高さが振幅だ。周波数を変えると線が横に滑る。

大きさと位相、二枚の図

一つの成分を完全に記すには大きさだけでは足りない。その正弦波がいつ山に達するか、すなわち位相も要る。だからスペクトルは二枚だ。大きさスペクトル |X| は各周波数がどれだけ強いか、位相スペクトル ∠X は各周波数がどれだけずれているかを示す。両方そろって信号が完全に決まる。ここでは位相を 0 にして大きさ一枚だけ描いた。

時間と周波数は一対

時間波形とスペクトルは同じ信号の二つの顔で、互いに行き来できる。スペクトルから各成分を足し戻せば時間波形になり(合成)、時間波形から各周波数の量を測ればスペクトルになる(分析)。周期信号は前ユニットのように倍音の位置だけに線が立つ離散スペクトルを持つ。周期でない信号ならどうなるか。その答えが次のユニットのフーリエ変換だ。

最初の画面に戻ると

周波数スライダーを動かすと時間波形の振動が速くなったり遅くなったりし、同時にスペクトルの線がその周波数位置へ滑った。二つの変化は常に一緒に起きた。どちらも同じ信号を時間軸と周波数軸で見たものだからだ。線の横位置が周波数、高さが大きさだった。スペクトルは信号を周波数の言葉で書き直したもので、時間波形とまったく同じ情報を持つ対だ。

周期信号のスペクトルは倍音位置だけに線が立つ離散の図だった。ではパルス一つのように繰り返さない信号はどんなスペクトルを持つか。次のユニットフーリエ変換では周期を無限に伸ばす極限を追う。倍音間の間隔が 0 へ狭まるにつれ、離れていた線がすき間のない連続スペクトルに溶け込む。離散和が積分に変わるその瞬間がフーリエ変換の誕生だ。