SC · フーリエ

フーリエ変換の性質

フーリエ変換の最も強力な性質は、時間領域の畳み込みが周波数領域の掛け算になることです。B 章で手間をかけて滑らせながら足していた畳み込みが、周波数では二つのスペクトルを点ごとに掛けることに変わるのを、自分で確かめます。

畳み込みと掛け算が一緒に動く

上の図は、幅 1 の矩形パルス x と幅を変えられる矩形パルス h を畳み込んだ時間出力 y = x ∗ h で、金色の破線がその目標です。下の図では、薄い灰色の X と薄い青の H を点ごとに掛けた緑の曲線が出力スペクトル Y = X·H です。h の幅を動かすと上の畳み込みと下の積がいつもいっしょに変わり、上の図の出力が目標に届くと、下の積もその目標のスペクトルになります。

時間出力 y = x ∗ h目標

スペクトル Y = X · H

h の幅2.00

二領域の出力

y = x ∗ h   ↔   Y = X · H

h の幅が目標と違うので時間出力がずれ、下の積 Y も同じだけ違います。二つの領域は同じ事実の二つの顔なので、いつもいっしょに動きます。

ずれ

畳み込みが掛け算になる

フーリエ変換の核心の性質は畳み込み定理です。時間領域で y = x ∗ h なら周波数領域では Y(ω) = X(ω) H(ω) となり、滑らせて足す積分が、同じ周波数どうしの単純な掛け算に変わります。ここで H(ω) はインパルス応答 h のフーリエ変換、つまりシステムの周波数応答です。B 章で見た LTI の出力計算が、周波数では掛け算一回で終わります。

観察x ∗ h ↔ X · H

時間の畳み込みは周波数の掛け算。

選ぶa x + b y ↔ ?

和とスケールはそのまま移る。

空欄x(t − t₀) ↔ X(ω) · ?

時間移動は位相 e^−jωt₀。

自分でx(at) ↔ ?

時間で圧縮は周波数で伸張。

移動は位相、スケールは逆数

ほかの性質も変換を計算の道具にします。線形性により、入力の和と拡大は変換でもそのまま足され、掛けられます。時間移動では x(t − t₀) の変換が X(ω) に e^(−jωt₀) を掛けたものになるので、大きさ |X| はそのままで、位相だけが周波数に比例して傾きます。時間スケールでは x(at) の変換が (1/|a|)X(ω/a) なので、C3 で見た逆数の関係がそのまま性質になり、信号を時間で圧縮すると周波数で伸びます。

なぜこれが強力か

畳み込み定理が強力なのは、周波数領域では LTI システムが周波数一つ一つを別々に扱うからです。正弦波を LTI システムに入れると同じ周波数の正弦波が H(ω) だけ大きさと位相を変えて出てくるので、正弦波は LTI システムの固有関数で、H(ω) はその固有値です。だから複雑な畳み込みが、周波数ごとに独立した掛け算一つに分かれます。周波数ごとに H(ω) が何をするかが、次のユニットのテーマである周波数応答です。

最初の画面に戻ると

h の幅を動かすたびに、時間出力 y = x ∗ h と周波数出力 Y = X·H はいつもいっしょに変わりました。二つは同じ信号を時間と周波数から見た一組だからです。時間では滑らせながら足す畳み込みでしたが、周波数では二つのスペクトルを点ごとに掛けることで、幅がそろった瞬間に三角形と sinc² という一組が現れました。難しい演算をやさしい演算に変えるこの畳み込み定理こそ、フーリエが工学でこれほど使われる核心の理由です。

フーリエ変換の性質は、変換を計算の道具にする。核心は畳み込み定理、すなわち y = x ∗ h ⟺ Y(ω) = X(ω) H(ω) で、ここで H(ω) = FT{h} が周波数応答である。さらに線形性(ax + by ⟺ aX + bY)、時間移動(x(t − t₀) ⟺ e^−jωt₀ X(ω)、大きさは不変)、時間スケール(x(at) ⟺ (1/|a|) X(ω/a))がある。畳み込み定理は LTI の出力を掛け算に変え、正弦波が LTI システムの固有関数であることも意味する。

次のユニットへ

畳み込み定理は、システムのはたらきを H(ω) という一つの関数に収めました。次のユニット周波数応答ではその H(ω) そのものをのぞき込み、大きさ |H(ω)| は周波数ごとにどれだけ大きくしたり小さくしたりするかを、位相 ∠H(ω) は周波数ごとにどれだけ遅らせるかを表します。正弦波を一つ入れて出てきた正弦波の振幅比と位相差を測れば、システムがどの周波数を通し、どの周波数を止めるかが一目で分かります。