SC · フーリエ

フーリエ変換の性質

フーリエ変換の最も強力な性質は、時間領域の畳み込みが周波数領域の掛け算になることだ。B 章で苦労して滑らせ足した畳み込みが、周波数では二つのスペクトルを点ごとに掛けるだけになるのを自分で見る。

畳み込みと掛け算が一緒に動く

上は時間出力 y = x ∗ h で、下はそのスペクトルだ。周波数では出力 Y は入力 X とシステム H を点ごとに掛けた X·H だ。h の幅を動かそう。時間の畳み込み結果と周波数の積の結果が常に一緒に変わり、点線の目標に同時に届く。

時間出力 y = x ∗ h目標

スペクトル Y = X · H

h の幅2.00

二領域の出力

y = x ∗ h   ↔   Y = X · H

h の幅が目標と違う。時間出力も周波数出力もずれている。二つの領域は同じ事実の二つの顔なので常に一緒に動く。

ずれ

畳み込みが掛け算になる

フーリエ変換の核心的性質は畳み込み定理だ。時間領域で y = x ∗ h なら、周波数領域では Y(ω) = X(ω) H(ω) だ。滑らせ足す積分が、同じ周波数同士の単純な積に変わる。ここで H(ω) はインパルス応答 h のフーリエ変換、すなわちシステムの周波数応答だ。B 章で見た LTI 出力計算が周波数では掛け算一回で終わる。

観察x ∗ h ↔ X · H

時間の畳み込みは周波数の掛け算。

選ぶa x + b y ↔ ?

和とスケールはそのまま移る。

空欄x(t − t₀) ↔ X(ω) · ?

時間移動は位相 e^−jωt₀。

自分でx(at) ↔ ?

時間で圧縮は周波数で伸張。

移動は位相、スケールは逆数

他の性質も変換を計算道具にする。線形性: 入力の和とスケールは変換でもそのまま足され掛けられる。時間移動: x(t−t₀) の変換は X(ω) に e^(−jωt₀) を掛けたもので、大きさ |X| はそのまま位相だけ傾く。時間スケール: x(at) の変換は (1/|a|)X(ω/a) で、C3 で見た逆数関係がそのまま性質になる。信号を時間で圧縮すると周波数で伸びる。

なぜこれが強力か

畳み込み定理が強力なのは、周波数領域で LTI システムが各周波数を別々に扱うからだ。正弦波を LTI に入れると同じ周波数の正弦波が H(ω) だけ大きさと位相を変えて出る。すなわち正弦波は LTI システムの固有関数で、H(ω) はその固有値だ。だから複雑な畳み込みが周波数ごとに独立した積一つに分解される。各周波数で H(ω) が何をするかが次のユニットの主題、周波数応答だ。

最初の画面に戻ると

h の幅を動かすたびに時間出力 y = x ∗ h と周波数出力 Y = X · H が常に一緒に変わり、目標にも一緒に届いた。二つは同じ信号を時間と周波数で見た一対だからだ。時間では滑らせ足す畳み込みだったが、周波数では二つのスペクトルを点ごとに掛けることだった。難しい演算を易しい演算に変えるこの畳み込み定理が、フーリエが工学でこれほど使われる核心的理由だ。

フーリエ変換の性質は変換を計算道具にする。核心は畳み込み定理: y = x ∗ h ⟺ Y(ω) = X(ω) H(ω)、ここで H(ω) = FT{h} が周波数応答だ。また線形性(ax + by ⟺ aX + bY)、時間移動(x(t − t₀) ⟺ e^−jωt₀ X(ω)、大きさ不変)、時間スケール(x(at) ⟺ (1/|a|) X(ω/a))。畳み込み定理は LTI 出力を掛け算に変え、正弦波が LTI の固有関数であることを意味する。

次のユニットへ

畳み込み定理はシステムの作用を H(ω) 一つの関数に圧縮した。次のユニット周波数応答では、その H(ω) 自体を覗く。大きさ |H(ω)| は各周波数をどれだけ増減するか、位相 ∠H(ω) は各周波数をどれだけ遅らせるかを語る。正弦波一つを入れて出てきた正弦波の振幅比と位相差を測れば、システムがどの周波数を通しどの周波数を止めるかが一目で分かる。