ボード線図入門

折れ点を目標コーナーに合わせる

上は大きさをデシベルで描いたボード大きさ線図だ。青い曲線が実際の応答、ゴールドの直線が漸近線だ。下は位相線図だ。コーナー周波数スライダーを動かし、折れ点を点線の目標に合わせよ。対数軸なのでコーナーの上は −20dB/十倍の真っ直ぐな直線が見える。

デシベルと対数軸

ボード線図は大きさを 20 log₁₀|H| デシベル、周波数を対数軸で描く。対数を使うと積が和になり、複数段を直列につないだシステムのデシベル大きさが単に足される。また 0.1 から 1000 までのような広い周波数範囲が一枚に均等に入る。掛け算的で広範だった応答が、足し算と直線の世界に移る。

曲線が直線になる

1次低域通過の大きさを dB・対数で描くと二直線に伸びる。コーナー ωc の下では 0dB の水平線、上では周波数が 10 倍になるたび 20dB ずつ下がる −20dB/十倍の直線だ。二直線はコーナーで出会い、実際の曲線はその点で 3dB だけ下にある。だからコーナー周波数をいくつか知れば全体の応答を直線断片でスケッチできる。2次システムなら傾きが −40dB/十倍に倍に急になる。

位相も一緒に読む

ボード線図は大きさと位相の二枚で一組だ。1次低域通過の位相はコーナーのはるか下で 0 度、コーナーで −45 度、はるか上で −90 度と、コーナーを中心に約二十倍区間にわたり滑らかに下がる。大きさのコーナーと位相の −45 度が同じ ωc で起きる。システムがどの周波数をどれだけ減らしどれだけ遅らせるかが、二枚の直線図から一目で読める。次のユニットではこの大きさ線図から帯域幅とフィルタの種類を直接読む。

最初の画面に戻ると

コーナー周波数を動かすたびに折れ点が対数軸に沿って滑った。コーナーの下は常に平らな 0dB、上は常に −20dB/十倍の真っ直ぐな直線で、二つはコーナーで出会った。実際の曲線はその位置で 3dB だけ下だった。位相は同じコーナーを中心に 0 度から −90 度へ曲がった。ボード線図の力は、曲線だった周波数応答をコーナーいくつかと直線断片に変え、広い周波数範囲を手でも描けるようにすることにある。

ボード大きさ線図を読めるようになったので、次はその図から実務の数値を取り出す番だ。次のユニット帯域幅とフィルタリングでは、通過帯の幅、すなわち −3dB までの帯域幅をコーナーから直接読み、低域・高域・帯域通過・帯域阻止の四つのフィルタを大きさ線図の形で見分ける。信号のスペクトルにフィルタの大きさ線図を掛ければ、どの周波数が生き残るかが決まる。C4 の畳み込みは掛け算という性質が、ここでフィルタ設計の実戦道具になる。