SC · 信号の基礎
信号の演算
信号を時間軸で押し、伸ばし、裏返す。この三つの演算が独立変数 t にどう作用するか、そしてなぜ内側から読むのかを学ぶ。
二つのスライダーで目標波形に重ねる
薄い曲線が原信号 x(t)、点線が合わせるべき目標だ。倍率 a と移動 b を動かし、変換後の y(t) = x(at − b) を目標の上にぴったり重ねよ。
原信号 x目標
倍率 a1.00
移動 b0.00
現在の変換
y(t) = x(1.00 t − 0.00)
立ち上がりも幅も目標と違う。a で幅を、b で立ち上がり位置を同時に合わせる。
大きくずれ
時間移動は丸ごと左右へ
x(t − t₀) は信号全体を右へ t₀ だけ押す。引き算なのに右へ動くのは、t = t₀ で初めて元の t = 0 の値が出るからだ。つまり遅れて届く(遅延)。逆に x(t + t₀) は左へ引き、早く届く。
時間スケールは圧縮と伸張
x(at) では a>1 で時間が速く流れ信号は圧縮され、0<a<1 で伸張する。幅は 1/a 倍になる。時間軸に作用する量が a なのに、結果の幅はその逆数になるのが要点だ。
観察y(t) = x(t − t₀)
引き算 t₀ は右への移動(遅延)。
選ぶy(t) = x(?)
a>1 は圧縮、幅は 1/a。
空欄y(t) = x(?)
符号を反転すると左右反転。
自分でy(t) = x(?)
因数分解して内側から、移動の後スケール。
反転と読む順序
x(−t) は信号を左右に裏返す。移動とスケールが一緒に来たら x(at − b) を内側から読む。at − b = a(t − b/a) と因数分解すれば、まず b/a だけ移動し次に a でスケールしたものに等しい。括弧内の t が受ける順序が、そのまま信号が受ける順序だ。
最初の画面に戻ると
目標に重ねるには幅を a で、立ち上がりを b で合わせる必要があった。変換後の信号は立ち上がりが b/a に、幅が 1/a に移った。これが x(at − b) を内側から読むという意味だ。括弧内で t がまず移動し次にスケールされる順序が、画面で曲線が動いた順序そのものだった。
独立変数に加える演算は時間軸を逆に動かす。時間移動 x(t − t₀) は t₀>0 で右(遅延)、t₀<0 で左へ押す。時間スケール x(at) は |a|>1 で圧縮、|a|<1 で伸張し、幅は 1/|a| 倍。反転 x(−t) は左右を裏返す。結合形 x(at − b) = x(a(t − b/a)) は内側から、すなわち b/a 移動の後 a スケールで読む。
次のユニットへ
時間移動と反転は次章ですぐ使う。畳み込みはインパルス応答を裏返し(反転)ながら押し(移動)、重なる面積を足す演算だ。時間スケールは標本化と周波数スケーリングで、時間と周波数が互いに逆数で伸び縮みする関係として再び現れる。次のユニット偶/奇関数とエネルギー · 電力では、信号を対称性と大きさで分ける。