SC · ラプラス

伝達関数

伝達関数 H(s) = 出力/入力は入力に依らないシステムそのものだ。ラプラスが微分 d/dt を掛け算 s に変え、微分方程式を代数式にする。係数を動かし、微分方程式・伝達関数・極・インパルス応答が一体で動くのを自分で見る。

一つのシステム、四つの言語

微分方程式と、それをラプラスした伝達関数 H(s) = a/(s+a)、その分母を 0 にする極、そしてインパルス応答 h(t) = a·e^(−at) はすべて同じシステムだ。係数 a を動かすと四つが一緒に変わる。点線の目標応答に合わせ、係数一つがシステム全体を定めることを見よ。

s 平面 (× = 極 −a)

インパルス応答 h(t) = a·e^(−at)

係数 a2.40

四つの表現

H(s) = 2.40 / (s + 2.40)

dy/dt + 2.40 y = 2.40 x   ·   s = −2.40

極の位置 s = −a が目標と違う。微分方程式の係数 a がそのまま伝達関数の分母であり極であり、応答が収まる速さまで定める。四つが同じ a を指す。

ずれ

微分が掛け算になる

ラプラス変換は初期値が 0 のとき微分 d/dt を掛け算 s に変える。だからシステムが従う線形微分方程式の両辺を変換すると、微分演算がすべて s の累乗に変わり式が代数式になる。これを出力 Y(s) と入力 X(s) の比に整理すると H(s) = N(s)/D(s)、すなわち s の多項式の比が出る。解きにくい微分方程式が一つの分数式に単純化したのだ。

観察H(s) = Y(s)X(s)

伝達関数は出力割る入力。

選ぶLaplace: d/dt → ?

ラプラスは d/dt を s に変える。

空欄Y(s) = H(s) ?

出力は H かける入力。

自分でpoles: D(s) = ?

極は分母を 0 にする根。

伝達関数はシステムの身分証

H(s) = Y(s)/X(s) はどんな入力を入れても同じ関数だ。入力に依存しないのでシステムそのものだ。インパルスを入れると X(s)=1 で Y(s)=H(s) なので、伝達関数はまさにインパルス応答のラプラス変換 H(s)=L{h(t)} だ。B1 でインパルス応答がシステムを語り尽くすと言ったことを s 領域へ移したわけだ。そしてどんな入力でも出力は Y(s) = H(s) X(s)、すなわち s 領域の掛け算だ。C4 の畳み込みは掛け算という性質が、過渡応答まで含めてここで完成する。

極は分母の根

伝達関数を微分方程式から立てると、分母 D(s) がその方程式の特性多項式になる。その根、すなわち D(s)=0 の解が極で、前ユニットで見たとおりシステムの自然応答モードと安定性を定める。分子 N(s) の根は零点だ。だから微分方程式の係数が分かれば H(s) の分母・分子を因数分解して極と零点をすぐ得て、その位置からシステムの振る舞いを読む。今見た 1次システムは極が一つ(−a)だけなので単純減衰だった。

最初の画面に戻ると

係数 a を動かすと微分方程式、伝達関数 H(s) = a/(s+a)、極 s = −a、インパルス応答 a·e^(−at) がすべて一緒に動いた。四つが同じシステムを四つの言語で書いたものだからだ。ラプラスが微分を s に変え方程式を一つの分数式にしたおかげで、システムは掛け算一回で扱える H(s) になった。その分母の根が極で、出力はどんな入力でも Y(s) = H(s) X(s) だ。

伝達関数 H(s) = Y(s)/X(s) は出力と入力のラプラス変換の比で、入力に依らないシステムそのものだ。微分方程式を変換すると d/dt が s に変わり H(s) = N(s)/D(s) の s 多項式の比になる。H(s) = L{h(t)}(インパルス応答の変換)で、どんな入力でも出力は Y(s) = H(s) X(s)。分母 D(s)=0 の根が極、分子 N(s)=0 の根が零点(D2)だ。

次のユニットへ

一つのシステムが H(s) 一つで書けるなら、複数のシステムをつないだものも結局一つの H(s) にまとまるはずだ。次のユニットブロック線図とフィードバックでは、システムを箱で描き、直列につなぐと伝達関数が掛け算され、並列なら足され、出力を入力に戻すフィードバックなら H/(1+HG) にまとまる規則を学ぶ。フィードバックは極の位置を動かし、不安定なシステムを安定に、遅いシステムを速くする制御の核心的道具だ。そこで信号・システムが制御へ移る。