安定度とラウス判別法

極を解かずに安定を判定する

D4 のフィードバックのように、K/(s(s+1)(s+2)) に利得 K で単位フィードバックをかけると、閉ループの特性方程式は s³ + 3s² + 2s + K = 0 だ。左の s 平面の × がその三つの極で、緑の左半面が安定領域だ。右の表示器にはその係数で立てたラウス表の第一列がある。利得 K のスライダーを動かそう。K が大きくなると第一列の (6−K)/3 の桁が負に変わり、まさにそのとき複素極の対が虚軸を越えて右半面に入る。ラウス表だけで、極を解かずにその境界が分かる。

安定は全極が左半面

D2 で見たように、システムが安定であるには特性方程式のすべての根、すなわちすべての極が左半面(実部が負)になければならない。一つでも右半面にあればそのモードが発散する。しかし三次を超えると根を手で解くのは苦しく、高次では事実上不可能だ。幸い、知りたいのは根の正確な値ではなく、すべて左半面にあるかという一つの是非だ。ラウス–フルビッツ判別法は根をまったく解かず、特性方程式の係数だけを組み合わせてその答えを与える。まず必要条件が一つ。すべての係数が存在し同じ符号(普通は正)でなければならない。係数が一つでも欠けるか符号が違えば、それだけで既に不安定だ。

ラウス表と第一列の符号

ラウス表は特性方程式の係数を二行に交互に書くことから始まる。s³ + 3s² + 2s + K なら、s³ 行に 1 と 2、s² 行に 3 と K を置く。その下の行からは上二行を 2×2 行列式のように編んで埋める。s¹ 行の最初の値は (3·2 − 1·K)/3 = (6−K)/3、s⁰ 行は K だ。こうして作った表の第一列 1, 3, (6−K)/3, K が判定のすべてだ。核心の規則。第一列を下りながら符号が変わる回数が右半面の極の数と正確に等しい。符号変化が 0 なら右半面の極がなく安定、一回なら 1 個、二回なら 2 個が右半面にある。この例では (6−K)/3 が正、すなわち K < 6 なら符号変化がなく安定だ。

境界の利得と設計

第一列の一つがちょうど 0 になる点が安定と不安定の境界だ。この例では (6−K)/3 = 0、すなわち K = 6 が臨界利得で、そのとき s² 行と s⁰ 行から作る補助方程式 3s² + 6 = 0 を解くと s² = −2、極が s = ±j√2 に置かれる。これがシステムが一定振幅で振動する周波数だ。ラウスは単なる合否を超えて、こうして境界の利得とそのときの振動周波数まで手で教えてくれる。だから制御設計では、安全な利得の上限を決めたり、一つのパラメータがどこまで変わっても安定かを問うのに直ちに使う。極を動かして望む応答を作る次の段階の道具、根軌跡とボード線図へ自然につながる。

最初の画面に戻ると

K/(s(s+1)(s+2)) を利得 K で戻した閉ループの特性方程式 s³ + 3s² + 2s + K を、極を解かずに係数だけで判定した。ラウス表の第一列 1, 3, (6−K)/3, K で符号変化の数が右半面の極の数だった。K を上げると (6−K)/3 が負に変わり符号変化が二回生じ、まさにそのとき s 平面の複素極の対が虚軸を越えて右半面に入った。境界は K = 6、そのとき極は s = ±j√2 だった。高次方程式の根を一つずつ解かずに、係数の組み合わせ一つで安定の判定とその境界を手にしたのだ。

ラウスで一つの利得において安定か否かは分かったが、利得を 0 から上げる間に極が s 平面でどんな道を描いて動くかは見ていない。次のユニット根軌跡では、まさにその道を描く。利得 K が変わるとき、閉ループ極が開ループ極から出発して零点へ向かう軌跡を追うと、どこで虚軸を越えて不安定になるか、どの K で望む減衰比が得られるかが一目で見える。今ラウスで求めた境界 K = 6 は、根軌跡が虚軸と交わるまさにその点だ。