SC · フーリエ

フーリエ変換

周期信号の離散スペクトルで周期を無限に伸ばすと、線が連続スペクトルに溶け込む。それがフーリエ変換だ。矩形パルスを狭めるほどそのスペクトルが広がる、時間と周波数の逆数関係を自分で見る。

パルスを狭めるとスペクトルが広がる

上は矩形パルス、下はそのフーリエ変換である sinc スペクトルだ。点線が合わせるべき目標スペクトルだ。パルス幅 T を動かし、青い sinc を目標に重ねよ。時間で狭めると周波数で広がるのを見よ。

矩形パルス x(t)

スペクトル X(ω) = sinc目標スペクトル

パルス幅 T2.60

パルス幅と第一ゼロ

T = 2.60   ω₀ = 2π/T = 2.42

パルス幅が目標と違うので sinc の幅もずれる。時間幅と周波数幅は互いに逆数なので、パルスを狭めるとスペクトルが広がる。

幅ずれ

周期を無限に伸ばすと

フーリエ級数の倍音は間隔 ω₀ = 2π/T で離れている。周期 T を大きくするとこの間隔が狭まり、T を無限に伸ばす(信号が一度きりの非周期になる)と間隔が 0 へ消える。すると離れていた線がすき間のない連続スペクトル X(ω) に合わさる。離散和 Σ が積分 ∫ に変わるこの極限がフーリエ変換だ。

観察X(ω) = ∫ x(t) e^−jωt dt

分析は e^−jωt を掛けて積分。

選ぶx(t) = (1/2π) ∫ X(ω) ? dω

合成は符号が +jωt の逆変換。

空欄narrow pulse → ?

狭いパルスは広いスペクトル。

自分でΔt · Δω ?

時間幅かける周波数幅はほぼ一定。

狭いほど広い

矩形パルスの変換は sinc 関数だ。パルス幅が T なら sinc の第一ゼロは ω = 2π/T に来る。だからパルスを狭めるほど(T が小さいほど)ゼロが遠ざかり主たる山が広がる。短い信号ほど、その速い変化を作るのにより多くの周波数を集める必要があるからだ。時間の幅と周波数の幅は積がほぼ一定の逆数関係で、これが信号の不確定性原理だ。

変換と逆変換

分析は時間信号から各周波数の量を測ることで、X(ω) = ∫ x(t) e^(−jωt) dt だ。合成はその周波数成分を集め直して時間信号を作ることで、x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) e^(+jωt) dω だ。指数の符号だけが違う完全な一対なので、どちらの領域から始めても反対へ渡れる。次のユニットでは、この変換が従う規則を集めて計算道具にする。

最初の画面に戻ると

パルスを広げると sinc が狭まり、狭めると sinc が広がった。二つの幅の積はほぼそのままで、時間と周波数が逆数で結ばれているからだ。第一ゼロは常に ω = 2π/T に立った。一度きりの非周期信号は倍音いくつかではなく、すべての周波数にわたる連続スペクトルを持つ。その連続スペクトルを積分で読み書きするのがフーリエ変換で、フーリエ級数の周期無限極限だ。

フーリエ変換 X(ω) = ∫ x(t) e^−jωt dt は非周期信号を連続スペクトルに移す。逆変換は x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) e^+jωt dω。これはフーリエ級数の周期無限極限で、倍音線が連続体に溶ける。矩形パルスは sinc に変換され、幅 T のパルスは第一ゼロが ω = 2π/T。時間で狭めると周波数で広がる(逆数·不確定性、Δt·Δω ≳ 定数)。

次のユニットへ

変換自体を毎回積分で求めるのは面倒だ。次のユニットフーリエ変換の性質では、変換が従う規則を集める。線形性、時間移動が位相に与える影響、時間スケールが周波数スケールに与える逆数効果、そして何より時間領域の畳み込みが周波数領域の掛け算になる性質だ。この性質一つで LTI システムの出力計算が掛け算に簡単になる。B 章の畳み込みと C 章の周波数がここで出会う。