SC · ラプラス

ラプラス変換

ラプラス変換は、フーリエ変換に収束因子 e^(−σt) を加え、周波数 jω を複素数 s = σ + jω に広げたものだ。その σ が増える信号を収まらせ、フーリエが扱えなかった信号も変換されるのを自分で見る。

重み付き信号は収まるか

上は増える信号 e^(at)(薄)と、そこに収束因子 e^(−σt) を掛けた重み付き信号(濃)だ。下はその重み付き信号を累積した積分だ。σ を上げ、増えていた信号が 0 へ収まり積分が天井に収束するようにせよ。そのときラプラス変換が存在する。

増える信号 e^(at)重み付き e^((a−σ)t)

累積積分

収束因子 σ0.50

変換と収束領域

X(s) = 1/(s − 1)   ROC: Re(s) > 1  · ∞

σ が成長率 a より小さく、重み付き信号 e^((a−σ)t) がまだ増える。積分が発散し変換が存在しない。これがフーリエ(σ=0)が失敗する領域だ。

発散

フーリエに収束因子を加える

フーリエ変換は信号に e^(−jωt) を掛けて積分した。ラプラス変換はそこに実指数 e^(−σt) をもう一枚掛ける。二つの因子を合わせると e^(−st)、ここで s = σ + jω は複素周波数だ。jω 部分は依然として振動を選ぶが、σ 部分は時間とともに小さくなる e^(−σt) によって信号を強制的に収まらせる。だから際限なく増えてフーリエ積分が発散していた信号も、σ を十分上げれば積分が収束し変換を持つ。

観察X(s) = ∫ x(t) e^−st dt

変換は e^−st を掛けて積分。

選ぶs = ?

複素周波数 s = σ + jω。

空欄e^atu(t): ROC Re(s) ?

e^atu(t) は Re(s) > a で収束。

自分でσ = 0: s = ? (Fourier)

σ=0 ならラプラスはフーリエ。

収束領域(ROC)

ラプラス積分はすべての σ で収束するわけではない。増える信号 e^(at)u(t) なら重み付き信号が e^((a−σ)t) で、σ > a のときだけ 0 へ収まり積分が収束する。こうして積分が収束する σ の範囲を収束領域、ROC と呼ぶ。この信号の変換は X(s) = 1/(s−a)、ROC は Re(s) > a だ。同じ式でも ROC が違えば別の信号を意味するので、ラプラス変換は X(s) と ROC が一対でなければ完全でない。

フーリエはラプラスの一断面

s = σ + jω は平面上の点だ。σ を 0 にすると s = jω、すなわち縦の虚軸で、そこでラプラス変換はちょうどフーリエ変換になる。ただしその虚軸が ROC の中にあるときだけだ。だからフーリエは、ラプラスが見る s 平面全体のうち虚軸一本を見た断面だ。σ を自由に選べることが、ラプラスに過渡応答と安定性を扱う力を与える。次のユニットではこの s 平面上に極と零点を打ってシステムを読む。

最初の画面に戻ると

σ が小さいとき重み付き信号はまだ増え、積分は発散した。まさにそこがフーリエ変換が失敗する場所だ。σ を成長率 a の先まで上げると e^((a−σ)t) が 0 へ収まり、積分が天井 1/(σ−a) に落ち着いてラプラス変換が存在し始めた。ラプラスがフーリエに加えたのは、まさにこの選べる σ、収束を強制する実指数だ。その σ が作る収束の範囲が ROC で、変換は X(s) と ROC が一対だ。

ラプラス変換 X(s) = ∫₀^∞ x(t) e^−st dt は複素周波数 s = σ + jω を使う。因子 e^−st = e^−σt e^−jωt の e^−σt が収束因子で、増える信号を収まらせフーリエが扱えない信号も変換する。積分が収束する σ 範囲が収束領域(ROC)だ。e^atu(t) は X(s) = 1/(s−a)、ROC: Re(s) > a。σ=0(s=jω)で虚軸が ROC の中なら、ラプラスはフーリエに還元される。

次のユニットへ

s が平面上の点なら、変換 X(s) が無限大になる点と 0 になる点が、そのシステムの性格をほぼすべて語る。次のユニットs 平面と極・零点では、X(s) = 1/(s−a) の分母を 0 にする極 s=a を平面に打つ。極が虚軸の左(Re<0)にあれば収まる応答、右なら発散する応答だ。B4 で見た a<0 安定条件が、まさにこの極の位置として再び現れる。平面上の点いくつかでシステムを読む方法がそこで開く。