SC · ラプラス

ラプラス変換

ラプラス変換は、フーリエ変換に収束因子 e^(−σt) を掛けて、周波数 jω を複素数 s = σ + jω に広げたものです。その σ が増えていく信号を静めるので、フーリエでは扱えなかった信号も変換できることを、自分で確かめます。

重み付き信号は収まるか

上の図の薄い破線は増えていく信号 e^(at)(a = 1)で、青い曲線はそこに収束因子 e^(−σt) を掛けた重み付き信号です。下の図はその重み付き信号を 0 から積み上げた累積積分です。σ を大きくして、増えていた信号が 0 へ静まり、積分が天井に届いて止まれば、そのときラプラス変換が存在します。

増える信号 e^(at)重み付き e^((a−σ)t)

累積積分

収束因子 σ0.50

変換と収束領域

X(s) = 1/(s − 1)   ROC: Re(s) > 1  · ∞

σ が成長率 a = 1 より小さいので、重み付き信号 e^((a−σ)t) はまだ増えていきます。積分が発散するので変換は存在せず、フーリエ(σ = 0)が失敗するのもまさにここです。

発散

フーリエに収束因子を掛ける

フーリエ変換は信号に e^(−jωt) を掛けて積分し、ラプラス変換はそこに実数の指数 e^(−σt) をもう一枚掛けます。二つの因子を合わせると e^(−st) で、ここで s = σ + jω が複素周波数です。jω の部分は相変わらず振動を選び出しますが、σ > 0 なら e^(−σt) は時間とともに小さくなるので、σ の部分が信号を無理やり静めます。だから限りなく増えてフーリエ積分が発散していた信号も、σ を十分大きくすれば積分が収束して変換をもちます。

観察X(s) = ∫ x(t) e^−st dt

変換は e^−st を掛けて積分。

選ぶs = ?

複素周波数 s = σ + jω。

空欄e^atu(t): ROC Re(s) ?

e^atu(t) は Re(s) > a で収束。

自分でσ = 0: s = ? (フーリエ)

σ = 0 ならラプラスはフーリエ。

収束領域(ROC)

ラプラス積分はすべての σ で収束するわけではありません。増えていく信号 e^(at)u(t) なら重み付き信号は e^((a−σ)t) なので、σ > a のときだけ 0 へ静まって積分が収束し、このように積分が収束する σ の範囲を収束領域、つまり ROC と呼びます。この信号の変換は X(s) = 1/(s − a) で、ROC は Re(s) > a です。同じ式でも ROC が違えば別の信号を表すので、ラプラス変換は X(s) と ROC が一組になってはじめて完全です。

フーリエはラプラスの一断面

s = σ + jω は平面の上の点です。σ を 0 にすると s = jω、つまり縦の虚軸で、そこではラプラス変換はちょうどフーリエ変換になりますが、それはその虚軸が ROC の中にあるときだけです。だからフーリエは、ラプラスが見る s 平面全体のうち、虚軸の一本を切り出した断面です。σ を自由に選べるおかげでラプラスは過渡応答と安定性を扱え、次のユニットではこの s 平面の上に極と零点を打ってシステムを読みます。

最初の画面に戻ると

σ が小さいときは重み付き信号がまだ増え、積分は発散しましたが、まさにそこがフーリエ変換の失敗する所です。σ を成長率 a の先まで大きくすると e^((a−σ)t) は 0 へ静まり、積分が天井 1/(σ − a) に落ち着いて、ラプラス変換が存在し始めました。ラプラスがフーリエに加えたのは、まさにこの選べる σ、つまり収束を強いる実数の指数です。その σ がつくる収束の範囲が ROC で、変換は X(s) と ROC の一組です。

ラプラス変換 X(s) = ∫₀^∞ x(t) e^−st dt は複素周波数 s = σ + jω を使う。因子 e^−st = e^−σt e^−jωt のうち e^−σt が収束因子で、増えていく信号を静め、フーリエが扱えなかった信号も変換する。積分が収束する σ の範囲が収束領域(ROC)であり、e^atu(t) は X(s) = 1/(s − a)、ROC: Re(s) > a である。σ = 0(s = jω)で虚軸が ROC の中にあれば、ラプラスはフーリエに戻る。

次のユニットへ

s が平面の上の点なら、変換 X(s) が無限大になる点と 0 になる点に、そのシステムの性格がほとんど収まっています。次のユニットs 平面と極·零点では、X(s) = 1/(s − a) の分母を 0 にする極 s = a を平面に打ちます。極が虚軸の左(Re < 0)にあれば静まる応答、右にあれば発散する応答で、B4 で見た a < 0 の安定条件が、まさにこの極の位置として再び現れます。平面の上のいくつかの点でシステムを読む方法が、そこで開けます。