電磁気学

直交・円筒・球座標の微小体積と面積要素。曲がった辺に付くスケール因子(ρ, r, r sinθ)を自分で合わせる。

場は空間のすべての点に値を付ける関数だ。空の点を数で、さらに矢印で満たしながら、スカラー場とベクトル場の違いを自分で見る。

電場は電荷がまわりの空間に作るベクトル場だ。距離スライダーと符号トグルで 1/r² の減衰と向きの反転を自分で見て、試験電荷が受ける力 F = qE を読む。

連続電荷の電場は、点電荷のかけら dq が作る微小な場 dE をベクトルとして積分したものだ。分割数を増やし、和が積分値へ収束する過程を自分で見る。

電束は電場が面を通り抜ける量で、面に垂直な成分だけを数える(Φ=E·A=EA cosθ)。面を傾けて cosθ の変化を見て、閉じた面の正味の電束が発散へつながるのを見る。

閉じた面を通る正味の電束は中の電荷だけに比例する(∮E·dA=Q/ε₀)。ガウス面を大きくしても不変で、電荷が外なら 0 になることを見て、対称なら積分なしで E を求める。

閉じた面の正味の電束は内部の発散の体積積分に等しい(∮E·dA=∫∇·E dV)。セルに分けて内側の面が相殺し境界だけが残るのを見て、ガウスの微分形 ∇·E=ρ/ε₀ を取り出す道具を装着する。

電位 V は単位電荷あたりの位置エネルギーであるスカラー場だ(V=kQ/r)。等電位面を選んで V が一定であること、電場がその面に垂直で高い V から低い V へ向かう(E=-∇V)ことを見る。

勾配 ∇V はスカラー場から最も急な上りの向きと傾きを一つのベクトルとして取り出す。試験方向を回して方向微分 ∇V·û が整列時に最大になるのを見て、電場 E=-∇V を取り出す道具を装着する。

電場の中で誘電体は分極し、表面の束縛電荷が逆向きの場を作って正味の電場が ε_r 倍弱まる(E=E₀/ε_r)。ε_r を上げて双極子の分離と場の弱まりを見る。

静電容量は二つの導体が同じ電圧で蓄える電荷だ(C=Q/V=εA/d)。極板間隔を狭め誘電体を挟んで、容量が幾何と物質で決まり誘電体が ε_r 倍にすることを見る。

静電エネルギーは電荷ではなく電場そのものの中にある。エネルギー密度 u=½εE² は場の二乗に比例して強い所に集まり、全体は U=∫u dV=½CV² だ。場を強めて E² の増加を見る。

磁場は電流が作る。ビオ・サバールの法則は電流要素の微小磁場 dB=(μ₀/4π)I dl×r̂/r² を与える。試験点を回して dB が電流と距離に垂直で sinθ で増えるのを見て、B=∫dB を知る。

磁場の循環 ∮B·dl はループを貫く電流だけに比例する(∮B·dl=μ₀I_enc)。ループを大きくしても不変、導線が外なら 0 になるのを見て、対称なら積分なしで B=μ₀I/2πr を求める。

磁場は動く電荷に力を及ぼす。F=qv×B は速度と磁場に垂直で大きさは qvB sinθ。角を変えて sinθ の変化を見て、仕事をせず電荷が円やらせんを描くことを知る。

ループの循環 ∮F·dl は内の回転の面積分に等しい(∮F·dl=∫(∇×F)·dA)。セルに分けて内側の辺が相殺し境界ループだけが残るのを見て、アンペールの微分形 ∇×B=μ₀J を取り出す道具を装着する。

インダクタンス L はコイルが自らの電流の変化に逆らう磁気的な慣性だ(L=NΦ/I)。電流の変化率を上げて逆起電力 ε=-L dI/dt が大きくなるのを見て、蓄積エネルギー ½LI² を知る。

磁性体内の原子磁石が整列し(磁化 M)、正味の磁場が μ_r 倍になる(B=μ_r B₀=μH)。μ_r を上げてモーメントの整列と場の強まりを見て、誘電体が電場を弱めたのとの対比を知る。

磁気エネルギーは電流ではなく磁場そのものの中にある。エネルギー密度 u=B²/2μ は場の二乗に比例して強い所に集まり、全体は U=∫u dV=½LI² だ。場を強めて B² の増加を見る。

変化する磁束が起電力を作る(ε=-dΦ/dt)。ループを回して磁束 Φ=BA cosθ と起電力 ε∝sinθ が 90° ずれること、正面で磁束最大・起電力 0 になることを見て、微分形 ∇×E=-∂B/∂t を知る。

変わる電場が磁場を作る(I_d=ε₀ dΦ_E/dt)。コンデンサーを充電して、電荷が渡らない極板の隙間を取り巻いても磁場が回る理由を見て、補正されたアンペール ∮B·dl=μ₀(I_c+I_d) と微分形 ∇×B=μ₀J+μ₀ε₀∂E/∂t を知る。

すでに学んだ四つの法則を一堂に集める。ガウス・磁気ガウス・ファラデー・アンペール–マクスウェルをボタンで一つずつ見て、二つの発散(湧く場所)と二つの回転(時間で結ぶ環)の構造、閉じた体系から電磁波 c=1/√(μ₀ε₀)=光が出ることを見る。

空っぽの空間でファラデーとアンペール–マクスウェルを噛み合わせると波動方程式 ∇²E=μ₀ε₀∂²E/∂t² が出る。走る平面波を見て E⊥B⊥進行方向(横波)で二つが同じ位相であること、波長が違っても速さが c=1/√(μ₀ε₀)=光で不変であることを知る。

電磁波はエネルギーを進行方向へ運び、その流れがポインティングベクトル S=E×B/μ₀ だ。偏波は E が揺れる向き。偏波角を回しても B は常に E に垂直で、エネルギー流 S は向きも大きさも変わらないこと、強度 I=½ε₀cE₀² を見る。

光は二つの媒質の境界で反射(θ_r=θ₁)と屈折(スネルの法則 n₁ sinθ₁=n₂ sinθ₂)に分かれる。媒質中の光が v=c/n に遅くなるからだ。入射角を上げ、密→疎の媒質で臨界角(sinθ_c=n₂/n₁)を超えると光がすべて跳ね返る全反射を見る。

線が波長に匹敵するほど長いと電圧・電流が波として走り、その比が特性インピーダンス Z₀=√(L/C) だ。負荷 Z_L を調節して反射係数 Γ=(Z_L−Z₀)/(Z_L+Z₀) と定在波を見て、整合(Z_L=Z₀)すれば Γ=0 で反射が消え電力が 100% 伝わることを見る。

複素インピーダンスを反射係数の円盤上の一点に移す道具。正規化 z=r+jx を Γ=(z−1)/(z+1) で打ち、抵抗 r・リアクタンス x を調節して点を中心の整合点(z=1, Γ=0)に乗せる。抵抗円・リアクタンス弧の格子、線に沿って回る点(λ/2 で一周)を身につける。

ずれた負荷を Z₀ のように見せて反射を 0(Γ=0, SWR=1)にし、電力をそっくり伝える。λ/4 変成器インピーダンス Z₁ を合わせて Z_in=Z₁²/Z_L=Z₀ になる値 Z₁=√(Z₀Z_L) を見つけ、本線の定在波が消えるのを見る。複素負荷はスタブで整合。EM トラックの終着。