変位電流

充電速度を上げて変位電流を見る

コンデンサーを充電する。充電速度を上げると、導線だけでなく電荷が渡らない極板の隙間を取り巻いても、磁場が同じように回る。充電速度が 0 なら(静止)磁場もない。空の隙間を取り巻いて磁場が回るのはなぜか。

充電されるコンデンサーの矛盾

アンペールの法則は、磁場の循環がループを貫く電流に比例すると述べる。∮B·dl = μ₀I_enc(EM-14)。だがコンデンサーへ入る導線をアンペールループで囲み、そのループに膜を張ってみよう。導線を貫く平らな膜なら電流が I 通る。しかし極板の隙間へ膨らんで通る膜なら導線が貫かず電流は 0 だ。同じループ、違う膜、違う答えだ。静磁界で完璧だったアンペールの法則が時変界で破れる。

マクスウェルの補い、変位電流

極板の間では電荷が積もって電場 E が育つ。マクスウェルは、変わる電束 ε₀ dΦ_E/dt が隙間で欠けた電流をちょうど埋めることを見抜いた。彼はこれを変位電流 I_d = ε₀ dΦ_E/dt と呼んだ。膨らんだ膜は導線電流を一つも捕まえないが、同じ大きさの変位電流を捕まえる。これで両方の膜が μ₀I を与える。電流の連続性が戻る。補正されたアンペールの法則は ∮B·dl = μ₀(I_c + I_d) だ。

ファラデーの鏡像

ファラデーは変わる磁場が電場を作るとした。∇ × E = -∂B/∂t(EM-20)。マクスウェルの項はその鏡像だ。変わる電場が磁場を作る。∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t。二つの式の符号がずれている点に注目せよ。ファラデーはマイナス、マクスウェルはプラスだ。この非対称が二つの場を互いに打ち消す代わりに追いかけ合わせる。これで二つの回転方程式が対称になる。変わる一方の場が他方を生み、その場がまた最初の場を生む。

電磁波の扉を開く

この項のおかげで、電荷も導線もない空っぽの空間(J = 0)でも、変わる電場が磁場を作り、その変わる磁場がまた電場を作る(ファラデー)。二つが互いを支え合い、真空を走る電磁波になる。その速さは c = 1/√(μ₀ε₀) で、ただ二つの定数から出る。マクスウェルが計算したこの値が測定された光の速さと一致した。光こそ電磁波だったのだ。同じ項は、交流回路で電流がコンデンサーを渡って流れるように見える理由も説明する。

最初の画面に戻ると

最初の画面で充電速度が 0 のときは磁場がなく、速く充電するほど空の極板の隙間を取り巻いて磁場が育った。その隙間を本物の電荷は渡らないのに、そこの変わる電場がちょうど I_d = ε₀ dΦ_E/dt だけ、つまり導線の電流と同じ大きさの電流のように振る舞う。だから導線を囲む輪と隙間を囲む輪の磁場が同じだった。∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t。変わる電場が磁気を生む。

これで四つの方程式がすべて揃った。ガウス(∇·E = ρ/ε₀)、磁気ガウス(∇·B = 0)、ファラデー(∇ × E = -∂B/∂t)、そして変位電流で完成したアンペール(∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t)。次(EM-22)はこの四つを一堂に集めてマクスウェル方程式として総合し、その中に電磁波がどう潜むかを見る。