ガウスの法則

面を大きくしても電束は変わらない

金網のように描いた球が、点電荷を囲むガウス面です。スライダーで面を大きくすると、面上の場は 1/R² で弱まりますが、面の面積は R² で大きくなるので、二つを掛けた正味の電束は表示器の上で変わりません。ボタンで電荷を面の外に出すと、正味の電束は消えます。

ガウスの法則とは

EM-05 で、閉じた面の正味の電束 ∮E·dA を定義しました。ガウスの法則は、この値が面の中にある電荷だけに比例すると述べ、式では ∮E·dA = Q_enc/ε₀ です。比例定数は真空の誘電率 ε₀ です。面をどうとっても、同じ電荷を囲みさえすれば同じ電束が出てきます。

面の形・大きさによらない

点電荷を囲む球の半径を二倍にすると、面上の場は 1/4 に弱まりますが、面積は 4 倍になります。二つを掛けた電束は変わりません。へこんだ面でも立方体でも同じで、同じ電荷を囲みさえすれば正味の電束はいつも Q/ε₀ です。電束を、面を突き抜ける電気力線の本数として描けば、その本数は電荷が決め、面の形は関係ないということです。

外の電荷は数えない

電荷が面の外にあると、その電気力線は面の一方から入り、もう一方からそのまま出ていきます。入った分だけ出ていくので、正味の電束は 0 です。だからガウスの法則は、面の中に閉じ込められた電荷だけを数えます。外にどれほど大きな電荷があっても、正味の電束には加わりません。ただし面上の各点の場 E そのものは外の電荷の影響を受けるので、対称性が崩れると、法則は成り立っても E をすぐには求められません。

対称なら積分なしで E

対称性がよければ、ガウスの法則は近道になります。点電荷や一様に帯電した球のまわりに同じ中心のガウス球を置くと、場は面上で大きさが一定で面に垂直なので、積分はすぐに E·(4πr²) にまとまります。ここから E = Q/(4πε₀r²) が出ますが、これはまさに EM-03 のクーロン場です。無限に長い直線なら円柱、無限に広い平面なら箱の形の面を選べばよく、EM-01 で身につけた、対称性に合う面の選び方が鍵です。

最初の画面に戻ると

最初の画面で、ガウス面を大きくしても正味の電束はびくともしませんでした。面上の場が 1/R² で弱まった分だけ面積が R² で大きくなり、ぴったり打ち消し合ったからです。電荷を面の外に出すと電束は 0 に落ちましたが、それは入ってきた電気力線がすべてまた出ていったということです。結局、閉じた面の正味の電束を決めるのは、面の大きさや形ではなく、その中に閉じ込められた電荷だけです。

ガウスの法則は、今は面積分、つまり積分形で書かれています。次のユニットの発散定理(EM-07)は、この面積分を体積積分に変え、一点で成り立つ微分形 ∇·E = ρ/ε₀ を導きます。これがマクスウェル方程式の一つ目です。積分形は対称性のある問題に、微分形は場の局所的な構造を見るときに使います。