EM-08 · 静電界フィールド

電位と等電位面

電位は単位電荷あたりの位置エネルギーであるスカラー場だ。等電位面に沿って V が一定であること、電場がその面に垂直で高い方から低い方へ向かうことを自分で見る。

等電位の殻を選んで V を読む

スライダーで点電荷を包む等電位の殻を選ぼう。同じ殻の上ではどこでも電位 V が同じだ。殻を外へ動かすと V はどうなるか。電場は殻をどんな角度で通るか。

等電位面の半径 rr = 1.50

ドラッグで回転。スライダーで等電位面の半径。

この等電位面の電位 V

V = kQ/r · 単位電荷あたりの位置エネルギー(スカラー)

等電位面で V 一定 · E ⊥ 面、高い V → 低い V

相対電位 · 60%

中間

電位、単位電荷あたりのエネルギー

電場の中で電荷を動かすには仕事がいる。電位 V はその仕事を電荷量で割ったもの、すなわち単位電荷あたりの位置エネルギーで、単位はボルト(V)だ。基準はふつう無限遠(V=0)に取る。点電荷のまわりでは V = kQ/r、近いほど高く、遠いほど 0 に近づく。電位は大きさだけのスカラー場だ(EM-02)。

観察V = kQr

点電荷の電位は距離に反比例する(1/r)。

選ぶV = ?

電位は単位電荷を運ぶのにかかる仕事だ。

等電位面、V が同じ面

電位が同じ点をつなぐと等電位面になる。点電荷のまわりでは同じ距離 r の点、すなわち同心の球面だ。同じ等電位面の上ではどこへ動いても V が変わらないので仕事がいらない。登山地図の等高線と同じで、同じ高さに沿って歩けば上り下りがない。

E は等電位面に垂直、下り坂

電場は常に等電位面を直角に横切る。もし斜めなら面に沿う成分が生じ、仕事なしに電位が変わる矛盾になる。だから E はちょうど垂直だ。向きは電位が最も速く減る方、すなわち高い V から低い V への下り坂だ。等高線に直角に転がり落ちるボールを思い浮かべればよい。

空欄|E| = ?

電場は 1/r² で、電位より速く減る。

V は 1/r、E は 1/r²

点電荷では電位は 1/r、電場は 1/r² で減る。電場のほうが速く弱まる。これは偶然ではない。電場は電位が距離につれて変わる割合、すなわち勾配だからだ。ある方向に電位が急に落ちるほど、その向きの電場が強い。正確に書けば E = -∇V、マイナス符号は下り坂を意味する。次のユニットでこの勾配の道具を装着する。

自分でE = ?

電場は電位の勾配を下り坂に反転したものだ。

最初の画面に戻ると

最初の画面では、スライダーで等電位の殻を外へ動かすほど電位 V は 1/r で低くなった。一つの殻の上では V がどこでも同じで、その面に沿っては仕事がいらない。電場の矢印は常に殻を直角に貫き、高い V(内側)から低い V(外側)へ向かった。電位は大きさだけのスカラー場だが、その勾配がベクトル場である電場を定める。

電位 V は単位電荷あたりの位置エネルギーであるスカラー場だ。点電荷では V = kQ/r で距離に反比例する。等電位面は V が一定の面で、その上を動くのに仕事はいらない。電場 E は等電位面に垂直で、高い V から低い V へ(最も急な下り坂)向かう。正確には E = -∇V だ。

次へ続く道

電場が電位の勾配だという関係 E = -∇V を、次のユニット(EM-09 勾配)で正確に装着する。勾配はスカラー場から最も急な上りの向きとその傾きを取り出す道具だ。逆に電位は電場を経路に沿って積分して得る。スカラー場 V とベクトル場 E は、こうして微分と積分で行き来する。