EM-08 · 静電界フィールド

電位と等電位面

電位は、単位電荷あたりの位置エネルギーを表すスカラー場です。等電位面に沿ってたどりながら、その上で V が一定であること、そして電場がその面を垂直に横切り、高いところから低いところへ向かうことを確かめます。

等電位の殻を選んで V を読む

中央の金色の点が点電荷で、まわりの薄い球が等電位の殻です。スライダーで殻を一つ選ぶとその殻が明るくなり、表示器にその上の電位が出ます。同じ殻の上ではどこでも電位が同じで、殻を外側へ移すほど電位は低くなります。矢印で描いた電場が殻をどんな角度で横切るかも、あわせて見えます。

等電位面の半径 rr = 1.50

ドラッグで回転し、スライダーで等電位面の半径を変えます。

この等電位面の電位 V

V = kQ/r · 単位電荷あたりの位置エネルギー(スカラー)

等電位面で V 一定 · E ⊥ 面、高い V → 低い V

相対電位 · 60%

中間

電位、単位電荷あたりのエネルギー

電場の中で電荷を動かすには仕事が要ります。電位はその仕事を電荷量で割った値、つまり単位電荷あたりの位置エネルギーで、単位はボルト(V)です。ふつうは無限に遠いところを基準(V=0)にとります。正の点電荷のまわりでは V = kQ/r なので、近いほど高く、遠いほど 0 に近づきます。負の点電荷なら符号が逆で、近いほど低くなります。電位は大きさだけをもつスカラー場です(EM-02)。

観察V = kQr

点電荷の電位は距離に反比例します(1/r)。

選ぶV = ?

電位は、単位電荷を動かすのに要る仕事です。

等電位面、V が同じ面

電位の等しい点を結ぶと等電位面になります。点電荷のまわりでは同じ距離にある点、つまり同じ中心をもつ球面です。同じ等電位面の上では、どこへ動いても電位が変わらないので、電場は仕事をしません。登山地図の等高線と同じで、同じ高さに沿って歩けば上り下りはありません。

E は等電位面に垂直、下り坂

電場はいつも等電位面を垂直に横切ります。もし斜めなら、面に沿う成分が生まれ、その成分に逆らって面の上で電荷を動かすと仕事が要り、電位が変わってしまいます。等電位面という定義と食い違うので、E はちょうど垂直です。向きは電位がいちばん速く下がる方向、つまり高い電位から低い電位へ下る向きです。等高線に直角に転がり落ちるボールを思い浮かべるとよいでしょう。

空欄|E| = ?

電場は 1/r² で小さくなり、電位より速く弱まります。

V は 1/r、E は 1/r²

点電荷では、電位は 1/r で、電場は 1/r² で小さくなります。電場のほうが速く弱まるわけですが、これは偶然ではありません。電場は、電位が距離とともに変わる割合、つまり傾きだからです。ある方向に電位が急に下がるほど、その向きの電場は強くなります。そのため、同じ電位差ごとに描いた等電位面は、電荷の近くで密に、遠ざかるほどまばらになります。この関係を正確に書くと E = -∇V で、負の符号は下り坂の向きを表します。次のユニットで、この勾配という道具を身につけます。

自分でE = ?

電場は、電位の傾きを下り坂の向きに反転させたものです。

最初の画面に戻ると

最初の画面で、スライダーで等電位の殻を外側へ移すほど、電位は 1/r に従って低くなりました。一つの殻の上では電位がどこでも同じなので、その面に沿っては仕事が要りません。電場の矢印はいつも殻を直角に突き抜け、高い V(内側)から低い V(外側)へ向かっていました。電位は大きさだけのスカラー場ですが、その傾きがベクトル場である電場を決めます。

電位 V は、単位電荷あたりの位置エネルギーを表すスカラー場です。点電荷では V = kQ/r で、距離に反比例します。等電位面は電位の等しい面で、その上で電荷を動かすのに仕事は要りません。電場 E は等電位面に垂直に、高い V から低い V へ(いちばん急な下り坂)向かいます。正確に書けば E = -∇V です。

次へ続く道

電場は電位の傾きであるという関係 E = -∇V を、次のユニット(EM-09 勾配)で正確に扱います。勾配は、スカラー場からいちばん急な上り坂の向きとその傾きを取り出す道具です。逆に、電位は電場を経路に沿って積分して得られます。スカラー場 V とベクトル場 E は、こうして微分と積分で行き来します。