発散定理

表と内をつなぐ

領域を小さなセルに分けてみよう。隣り合う二つのセルが接する面では、一方が出した分を他方が受け取り、互いに相殺する。最後まで相殺されずに残るのは何か。

表と内をつなぐ橋

ガウスの法則は閉じた面の電束(表)を述べる。発散定理は、この表の電束を、内側のすべての点の発散を体積にわたって足したものと等しい、と結ぶ。∮E·dA = ∫(∇·E)dV。面で測った量と体積の中で測った量が等しいという橋だ。

なぜ成り立つか、隣の面の相殺

領域を小さなセルに分け、各セルの正味の電束をすべて足してみよう。二つのセルが接する内側の面では、一方が出した流れがそのまま隣へ入る流れになり、符号が逆だ。だから内側の面は対になって相殺する。最後まで対のないのは外の境界の面だけだ。その結果、すべてのセルの発散を足すと、外の境界の電束だけが残る。

発散、単位体積あたりの湧き出し

セルを限りなく小さくすると、そのセルの正味の電束を体積で割った値が、一点での発散 ∇·E になる。単位体積あたりその点で湧き出す場の量だ。発散が正の点は場を噴き出す源(正電荷)、負の点は吸い込む所(負電荷)だ。発散定理は、この点ごとの湧き出しを体積にわたって集めたものが表の電束だ、と述べる。

ガウスの微分形

発散定理をガウスの法則に入れてみよう。表の電束 ∮E·dA は Q/ε₀、内側は ∫(∇·E)dV だ。閉じ込めた電荷 Q は密度を体積で積分した ∫ρ dV だ。すると ∫(∇·E)dV = ∫(ρ/ε₀)dV がどんな体積でも成り立つので、被積分関数が等しくなければならない。∇·E = ρ/ε₀。積分形の一行が点ごとの微分形に変わった。これがマクスウェル方程式の第一だ。

最初の画面に戻ると

最初の画面では、領域を細かく分けるほど内側に接する面がびっしり増えたが、それらはすべて対になって相殺した。最後まで残ったのは外の境界の面だけだった。だからすべてのセルの発散を足した体積積分は、表の面積分とちょうど等しい。∮E·dA = ∫(∇·E)dV。この橋をガウスの法則に置けば、微分形 ∇·E = ρ/ε₀ が出る。

発散定理は、面積分と体積積分を自在に行き来する道具だ。装着すれば、ガウスの法則の微分形 ∇·E = ρ/ε₀(マクスウェル 1・EM-22)が手に入り、ループを回る対の定理であるストークスの定理(EM-16)と一対をなす。積分形は対称問題に、微分形は場の局所構造とマクスウェル方程式に使う。