発散定理

外側と内側をつなぐ

金色の立方体が閉じた面で、水色の線がその内部を小さなセルに分けた格子です。ボタンで分割を増やすとセルどうしの接する面が多くなりますが、そうした面では一方が出した分だけもう一方が受け取るので、灰色の矢印の対のように打ち消し合います。最後まで生き残るのは、外側の面から出ていく金色の矢印だけです。

表と内をつなぐ橋

ガウスの法則は、閉じた面、つまり外側で測った電束について述べます。発散定理は、この外側の電束が、内側のすべての点の発散を体積全体にわたって足した値に等しいと、二つをつなぎます。∮E·dA = ∫(∇·E)dV。面で測った量と体積の中で測った量が等しいというこの橋は、電場だけに当てはまる物理法則ではなく、なめらかなベクトル場ならどこでも成り立つ数学の定理です。

なぜ成り立つか、隣の面の相殺

領域を小さなセルに分け、セルごとに正味の電束を求めてすべて足してみましょう。二つのセルが接する内側の面では、一方のセルが出した流れがそのまま隣のセルに入る流れなので、二つの値の符号は逆です。そのため内側の面は対になって打ち消し合い、最後まで相手のいない面は外側の境界の面だけです。結局、すべてのセルの電束を足すと、外側の境界の電束だけが残ります。

発散、単位体積あたりの湧き出し

セルを限りなく小さくすると、そのセルの正味の電束を体積で割った値が、一点の発散 ∇·E になります。単位体積あたり、その点から湧き出す場の量です。発散が正の点には場を出す湧き出し(正電荷)が、負の点には場を吸い込む吸い込み(負電荷)があります。発散定理は、こうして点ごとに湧き出す量を体積全体で集めたものが外側の電束だと述べています。

ガウスの微分形

発散定理をガウスの法則に入れてみましょう。外側の電束 ∮E·dA は Q/ε₀ で、内側は ∫(∇·E)dV です。閉じ込められた電荷 Q は、電荷密度を体積にわたって積分した ∫ρ dV です。すると ∫(∇·E)dV = ∫(ρ/ε₀)dV がどんな体積をとっても成り立つので、二つの被積分関数は等しくなければなりません。∇·E = ρ/ε₀。一行の積分形が、各点で成り立つ微分形に変わったのであり、これがマクスウェル方程式の一つ目です。

最初の画面に戻ると

最初の画面で、領域を細かく分けるほど内側には接する面がびっしり増えましたが、それらはすべて対になって打ち消し合いました。最後まで生き残ったのは、外側の境界の面だけでした。だから、すべてのセルの発散を足した体積積分は、外側の面積分とぴったり等しくなります。∮E·dA = ∫(∇·E)dV。この橋をガウスの法則の上に置くと、微分形 ∇·E = ρ/ε₀ が出てきます。

発散定理は、面積分と体積積分のあいだを自由に行き来させてくれる道具です。この道具を身につけると、ガウスの法則の微分形 ∇·E = ρ/ε₀(マクスウェル 1·EM-22)が手に入り、閉じた輪を回る対の定理であるストークスの定理(EM-16)と一組になります。積分形は対称性のある問題に、微分形は場の局所的な構造とマクスウェル方程式に使います。