EM-14 · 静磁界フィールド

アンペールの法則

磁場を閉じたループに沿って足した循環は、そのループを貫く電流だけに比例する。アンペールループを大きくしたり導線をループの外へ出したりして、循環がループの大きさによらないことを自分で見る。

ループを大きくしても循環は同じ

電流の導線を囲むアンペールループを大きくしてみよう。ループ上で磁場は 1/R で弱まる一方、周は 2πR で大きくなる。循環 ∮B·dl はどうなるか。導線をループの外へ出すとどうなるか。

アンペールループの半径 RR = 1.50

ドラッグで回転。スライダーでループ半径 R、ボタンで導線の内/外。

ループ周の循環

∮B·dl = μ₀ I_enc · ループを貫く電流だけを数える

B は 1/R で小さくなり周は 2πR で大きくなるので、循環は同じだ。

B 67% · 2πR 150% · ∮ 100% (不変)

内 · μ₀I ·

アンペールの法則とは

EM-13 で直線電流のまわりの磁場が同心円を描くのを見た。アンペールの法則はこれを一行に圧縮する。磁場を閉じたループに沿って一周足した量、すなわち循環 ∮B·dl が、そのループを貫く電流 I だけに比例するということだ。∮B·dl = μ₀ I_enc、比例定数 μ₀ は真空の透磁率だ。ガウスの法則が電束と電荷を結んだように、アンペールの法則は循環と電流を結ぶ。

観察∮B·dl = μ₀ I_enc

循環は囲んだ電流かける μ₀ だ。

ループの大きさによらない

導線を囲むループを二倍にすると、ループ上の磁場は半分に弱まる(B = μ₀I/2πR)一方、一周の周は二倍になる(2πR)。両者の積である循環は変わらない。へこんだループでも四角いループでも同じだ。同じ電流を囲みさえすれば循環は常に μ₀I だ。循環は囲んだ電流だけで決まるからだ。

選ぶ∮B·dl = ?

ループを貫く電流だけが数に入る。

ループを貫く電流だけ

導線がループの外にあると、その磁場はループの一方から入り、もう一方から出ていく。一周足すと、入る寄与と出る寄与がちょうど相殺し、循環は 0 だ。だからアンペールの法則はループを実際に貫く電流だけを数える。外にどれほど大きな電流があっても循環には寄与しない。ただしループ上の各点の磁場 B 自体は外の電流の影響を受ける。

対称なら積分なしで B

対称性が良ければ、アンペールの法則はビオ・サバール積分の近道になる。直線電流のまわりに同心の円形ループを取れば、B はループ上で一定でループの向きと平行なので、循環は B·(2πr) にまとまる。ここから B = μ₀I/(2πr) が出る。EM-13 で積分で求めた直線電流の結果とちょうど同じだ。ソレノイドは長方形ループで B = μ₀nI、トロイドも同じやり方だ。EM-01 で学んだ対称性に合う経路選びが鍵だ。

空欄B · 2πr = ?

対称ならループで B が一定になり、循環が積に変わる。

自分でB = ?

アンペールの法則が直線電流の磁場を返してくれる。

最初の画面に戻ると

最初の画面でアンペールループを大きくしても循環は微動だにしなかった。ループ上の磁場が 1/R で弱まる分、周が 2πR で大きくなり、ちょうど打ち消し合うからだ。導線をループの外へ出すと循環は 0 に落ちた。入った寄与がすべてまた出ていったということだ。結局、循環を決めるのはループの大きさや形ではなく、ただそのループを貫く電流だ。∮B·dl = μ₀I_enc。

アンペールの法則は、磁場を閉じたループに沿って足した循環 ∮B·dl が、そのループを貫く電流だけに比例するという法則だ。∮B·dl = μ₀ I_enc。ループの形・大きさやループ外の電流にはよらない。対称性が良ければ B をループの積分から外に出し、積分なしで磁場を求める(直線導線で B = μ₀I/2πr)。

次へ続く道

ここまでは電流が磁場を作る側を見てきた。ビオ・サバール(EM-13)とアンペール(EM-14)はどちらも「電流 → 磁場」の法則だ。次のユニットからは逆に、磁場が動く電荷に力を及ぼす側を見る。磁気力とローレンツ力 F = qv × B (EM-15)だ。電流が磁場の中で受ける力もここから出る。