EM-02 · 静電界の道具道具を装着

スカラー場とベクトル場

場とは、空間のすべての点に値を付ける関数だ。点ごとに数が一つ付けばスカラー場、矢印が付けばベクトル場、と見分けられるようになる。

同じ空間に何を付けるか

ドラッグして空間を見回そう。同じ点に何を付けるかで場の種類が決まる。空の点から数へ、さらに矢印へと切り替えてみよう。

ドラッグで回転。タップで表現を切り替え。

一点が担う値

一点 = 位置のみ、値は 0 個

空間を点としてだけ見る。まだ何の量も付いていない。

値なし

スカラー場は空間の各点に数を一つ対応させる。部屋の温度 T(x, y, z)、山の高度 h(x, y)、電荷まわりの電位 V はすべてスカラー場だ。値は大きさだけで向きを持たないので、座標軸をどう回しても、その点の数は変わらない。

観察T : ℝ³ → ℝ

スカラー場は各点を一つの実数に送る。

ベクトル場は各点に矢印を対応させる。矢印は大きさと向きを併せ持つ。空気の速度 v、電荷が作る電場 E がそうだ。ある点の矢印は三つの成分に分けられる。つまりベクトル場は、点ごとに三つのスカラー場(E_x, E_y, E_z)を束ねたものと見なせる。

選ぶE : ℝ³ → ?

ベクトル場は各点を三つの実数の組に送る。

空欄E = E_x x̂ + E_y ? + E_z ẑ

三つの成分がそれぞれの単位ベクトルに乗る。

矢印の長さが大きさで、三成分の二乗和の平方根として求める。向きは同じ矢印を長さ 1 に縮めた単位ベクトルとして取り出す。成分が三つでも、矢印は依然として一点に一つ、向きを持つ一つのまとまりだ。

自分で|E| = ?

大きさは三成分の二乗和の平方根だ。

温度、質量、電位、電位差はスカラーだ。速度、力、電場、磁場はベクトルだ。見分け方は簡単で、その量に「どの向き？」と問うて意味があればベクトル、なければスカラーだ。電場は向きを与えて初めて完成し(EM-03)、電位は向きのない値一つだ(EM-08)。

最初の画面で、空の点はまず数で、次に矢印で満たされた。数で満たせばスカラー場、矢印で満たせばベクトル場だ。二つは同じ空間を別の量で読んだものだ。矢印は座標軸をどう回しても同じ方を指すので、ベクトル場は三成分に分けても、本質は向きを持つ一つのまとまりのまま残る。

場は空間のすべての点に値を対応させる関数だ。値が数一つならスカラー場 T(x, y, z)、大きさと向きを持てばベクトル場 E = E_x x̂ + E_y ŷ + E_z ẑ。スカラー場は点ごとに成分 1 個、ベクトル場は 3 個を担う。

道具を装着この道具を装着すると

スカラー場とベクトル場の表記は、あらゆる場の理論の語彙だ。これを装着すると次のユニットが解ける。電場 E(EM-03)はベクトル場として、電位 V(EM-08)はスカラー場としてそのまま読める。電束と発散(EM-05)、ガウスの法則(EM-06)は、すべてこのベクトル場の上で定義される。