EM-04 · 静電界フィールド

連続電荷の積分

連続的に広がった電荷の電場は、それを無数の点電荷のかけらに刻み、各かけらの微小な場をベクトルとして足して求める。かけらを細かくするほど、和が真の値へ収束するのを自分で見る。

かけらを増やして積分に近づく

電荷の棒を何個に分けるか選ぼう。各かけらが作る微小な矢印 dE を頭から尾へつなぐと、全体の電場 E になる。かけらが増えると、和はどう変わるか。

分割数 N

ドラッグで回転。ボタンで分割数 N。

P点の電場 E(かけらの和)

E = ∫ dE = ∫ k dq/r² r̂ · 微小な場の和

dq = λ dl = σ dA = ρ dV · 線・面・体積の密度

収束度 · 70%

粗い近似

点電荷一つの電場は EM-03 で見た。電荷が棒や板のように連続して広がっていれば、それを無数の点電荷のかけらと見なす。各かけら dq が作る微小な電場は dE = k dq/r² r̂ だ。全体の場はこの微小な場をすべて足したものだ。その足し算を限りなく細かいかけらで行えば、それが積分だ。

観察dE = k dqr² r̂

かけら一つは点電荷のように dE を作る。

かけらの電荷 dq は、密度かけるそのかけらの大きさだ。線電荷は dq = λ dl、面電荷は dq = σ dA、体積電荷は dq = ρ dV。ここで dl, dA, dV は EM-01 で選んだ微小要素だ。対称性に合う座標系を選べば、この積分はきれいになる。

選ぶdq = ?

線電荷のかけらの電荷は密度かける長さだ。

N個に分ければ、N個の微小な場のベクトル和が近似値だ。N を大きくしてかけらを限りなく細かくすると、和は一つの値に収束する。その極限が積分 E = ∫ k dq/r² r̂ だ。電場はベクトルなので、成分ごとに別々に積分する。

空欄E = ?

積分は微小な場を無限に足したものだ。

自分でE = ?

全体の場はすべてのかけらの dE を積分した値だ。

微小な場 dE はベクトルなので、大きさだけでなく向きも一緒に足される。対称性があれば、一部の成分は互いに打ち消し合う。たとえば非常に長い直線電荷では、棒に沿う成分はすべて消え、垂直な成分だけが残る。だから答えが簡単になる。どの成分が生き残るかを先に見るのが積分のコツだ。

最初の画面では、かけらが一つのとき棒を中央の点一つと見なしたので、矢印は外れた。かけらを増やすと、微小な場 dE が頭から尾へつながり、和は一つの向き、一つの大きさへ収束した。その収束値が積分 E = ∫ k dq/r² r̂ だ。積分とは結局、細かく刻んだ点電荷の場を漏れなく足し合わせることだ。

連続電荷の電場は、分布を無数の点電荷のかけら dq に刻み、各かけらの微小な場 dE = k dq/r² r̂ をベクトルとして積分したものだ。E = ∫ k dq/r² r̂ であり、かけらの電荷は dq = λ dl(線)、σ dA(面)、ρ dV(体積)だ。

次へ続く道

直接の積分はどんな分布にも通用するが、手間がかかる。対称性が良いときには、もっと速い道がある。電場が閉じた面をどれだけ貫くかを数える電束と発散(EM-05)、そしてガウスの法則(EM-06)へ進めば、対称な分布の場を積分なしで求められる。