EM-04 · 静電界フィールド

連続電荷の積分

連続して広がった電荷の電場は、その電荷を多くの点電荷のかけらに分け、かけらごとの微小な場をベクトルとしてすべて足して求めます。かけらを細かく分けるほど、その和が真の値に近づく様子を確かめます。

かけらを増やして積分に近づく

電荷の棒をいくつのかけらに分けるかをボタンで選ぶと、各かけらがつくる小さな矢印 dE が頭から尾へとつながり、点 P の全体の電場 E になります。かけらが一つだけだと和は向きからずれますが、かけらを増やすと鎖の先が一点に集まります。表示器の収束度は、その和が真の値にどれだけ近いかを百分率で表します。

分割数 N

ドラッグで回転し、ボタンでかけらの数(N)を変えます。

P点の電場 E(かけらの和)

E = ∫ dE = ∫ k dq/r² r̂ · 微小な場の和

dq = λ dl = σ dA = ρ dV · 線・面・体積の密度

収束度 · 70%

粗い近似

点から分布へ

一つの点電荷がつくる電場は EM-03 で見ました。電荷が棒や板のように連続して広がっていれば、それを多くの点電荷のかけらとみなせばよいのです。一つのかけらがつくる微小な電場は dE = k dq/r² r̂ です。全体の場はこの微小な場をすべて足したもので、限りなく細かく分けて行うその足し算が積分です。

観察dE = k dqr² r̂

一つのかけらは、点電荷と同じように dE をつくります。

かけらの電荷 dq

一つのかけらの電荷 dq は、電荷密度にそのかけらの大きさを掛けた値です。線電荷なら dq = λ dl、面電荷なら dq = σ dA、体積電荷なら dq = ρ dV です。ここで dl, dA, dV は EM-01 で選んだ微小要素なので、対称性に合う座標系を選べばこの積分もすっきりします。

選ぶdq = ?

線電荷のかけらの電荷は、線密度に長さを掛けた値です。

和が積分になる

棒を N 個に分けると、N 個の微小な場をベクトルとして足した値が近似値になります。N を大きくしてかけらを限りなく細かくすると、和は一つの値に落ち着き、その極限が積分 E = ∫ k dq/r² r̂ です。電場はベクトルなので、実際の計算では成分ごとに別々に積分します。図の棒では、四つに分けただけで収束度がほぼ百パーセントに達しますが、それはかけらが小さいほど、各かけらを点電荷とみなす近似がよく合うからです。

空欄E = ?

積分は、微小な場を限りなく細かく分けてすべて足したものです。

自分でE = ?

全体の場は、すべてのかけらの dE を積分した値です。

向きも一緒に足される

微小な場 dE はベクトルなので、大きさとともに向きも足されます。対称性があれば、一部の成分は互いに打ち消し合います。とても長い直線電荷の中央の横では、線に沿う成分がすべて打ち消し合い、垂直な成分だけが残るので、答えが簡単になります。図の点 P は棒の端より外側にあるので、そのような打ち消し合いはなく、いくつもの向きの成分が残ります。積分を始める前に、どの成分が生き残るかを先に見ておくのがこつです。

最初の画面に戻ると

最初の画面で、かけらが一つのときは棒を中央の一点とみなしたことになり、矢印は向きからずれました。かけらを増やすと微小な場 dE が頭から尾へとつながり、和は一つの向き、一つの大きさに落ち着きました。その収束値が積分 E = ∫ k dq/r² r̂ です。積分とは結局、細かく分けた点電荷のつくる場を残らず足し合わせる作業です。

連続電荷の電場は、分布を無数の点電荷のかけら dq に分け、各かけらの微小な場 dE = k dq/r² r̂ をベクトルとして積分したものです。E = ∫ k dq/r² r̂ で、かけらの電荷は dq = λ dl(線)、σ dA(面)、ρ dV(体積)です。

次へ続く道

直接積分する方法はどんな分布にも使えますが、手間がかかります。対称性のよい分布には、もっと速い道があります。電場が閉じた面をどれだけ通り抜けるかを数える電束と発散(EM-05)、そしてガウスの法則(EM-06)に進めば、対称な分布の場を積分なしで求められます。