電束と発散

輪を傾けて電束を見る

均一な電場の中で輪を傾けてみよう。場に正面で向くとき通過量が最大になり、縁を立てると 0 になる。通過量は何で決まるか。

電束、面を通る場

電束は、電場がある面をどれだけ通り抜けるかを数える量だ。場を水の流れにたとえれば、網を通る水の量にあたる。均一な場では、面を場に正面で置くと通過量が最大になる。

垂直な成分だけ数える

面を傾けると通過量は cosθ で減る。θ は面の法線と場のなす角だ。面が場と平行になると(θ=90°)、場は面をかすめるだけで通り抜けず、電束は 0 になる。だから電束は場のベクトルと面ベクトルの内積だ。Φ = E·A = EA cosθ。面ベクトル A は大きさが面積、向きが法線のベクトルだ。

曲がった面、変わる場

面が曲がったり、場が場所ごとに違ったりするときは、面を微小なかけら dA に刻み、各かけらの電束 E·dA を足す。それが面積分 Φ = ∫E·dA だ。EM-04 で点電荷の場を積分したように、ここでは場を面の上で積分する。

閉じた面と発散

面が領域を囲んで閉じると、入った電束と出た電束の差が正味の電束だ。∮E·dA と書く。正味が正なら面の中に場を噴き出す源(正電荷)が、負なら吸い込む所(負電荷)がある。この正味の電束を体積で割り、限りなく小さくしたものが発散だ。単位体積あたり湧き出す場の量にあたる。次のユニットのガウスの法則が、まさにこの正味の電束と閉じ込めた電荷を結ぶ。

最初の画面に戻ると

最初の画面では、輪を正面に向けたとき電束が最大になり、縁を立てると 0 になった。通過量を決めたのは、法線と場のなす角の余弦、すなわち内積だった。面ベクトル A を場 E に正射影した分だけ場が面を通る。曲がった面や変わる場ではこの内積を面の上で積分し、閉じた面では正味の電束が中の電荷を表す。

閉じた面の正味の電束は、中の電荷に比例する。次のユニットのガウスの法則(EM-06)がこれを Φ = Q/ε₀ と定め、発散定理(EM-07)が面積分と体積積分、すなわち積分形と微分形を結ぶ。対称性が良ければ、この法則で積分なしに電場が得られる。