EM-01 · 静電界の道具道具を装着

座標系と微小要素

空間をどう細かく刻むかが、積分の難しさを決める。対称性に合う座標系の微小要素を選べるようになる。

空間のかけらに合う微小体積を選ぶ

ドラッグして金色の空間のかけらを見回そう。すき間なく満たす座標系はどれか。

ドラッグで回転。タップで座標系を切り替え。

選んだ座標系の微小体積

dV = dx · dy · dz

まっすぐな辺が三つ。スケール因子なし。

ずれている

三つの軸が互いに直角で、間隔はどこでも一定。微小体積は三辺の単純な積になる。曲がった辺がないのでスケール因子は 1。

観察dV = dx dy dz

直交の三辺はそのまま掛ける。

ρが大きいほど、同じ角度 dφ が掃く距離は長くなる。だから φ 方向の辺の長さは dφ ではなく ρ dφ。角度を長さに変える ρ がスケール因子だ。

観察dV = dρ ρ dφ dz

角度の辺だけ ρ を付けて長さになる。

選ぶdV = dρ (?) dz

角度の辺だけ ρ を付けて長さになる。

経線方向の辺は半径 r の円の弧なので r dθ。緯線方向の辺は半径が r ではなく r sinθ の小さな円の弧なので r sinθ dφ。二つのスケール因子が掛かって r² sinθ になる。

選ぶdV = dr (?) ( ? )

経線の弧は半径 r。

空欄dV = dr (r dθ) (?)

緯線の弧の半径は r sinθ。

自分でdV = ? dr dθ dφ

二つのスケール因子を集めて r² sinθ。

半径 r の球面上のかけらの面積は二つの弧の積になる。dA = r² sinθ dθ dφ。次のユニットのガウスの法則の面積分は、まさにこのかけらを足し合わせる作業だ。

金色のかけらをすき間なく満たしたのは、球座標の微小体積だった。三つの辺(dr, r dθ, r sinθ dφ)が、そのかけらの対称性と同じ向きに伸びるからだ。立方体は曲面に追従できずずれ、円筒のくさびは上面と下面でずれた。座標系を選ぶとは、結局、微小要素の形を問題の対称性に合わせることだ。

微小体積要素は三つの辺の長さの積だ。まっすぐな辺は座標の増分そのままだが、曲がった辺はスケール因子を掛けて弧の長さになる。直交 dV = dx dy dz、円筒 dV = ρ dρ dφ dz、球 dV = r² sinθ dr dθ dφ。

道具を装着この道具を装着すると

座標系と微小要素は、あらゆる場の積分の取っ手だ。この道具を装着すると次のユニットが解ける。スカラー場とベクトル場(EM-02)、電束と発散(EM-05)、そしてガウスの法則の面積分(EM-06)は、すべてここで選んだ微小要素の上で起きる。