EM-15 · 静磁界フィールド

磁気力とローレンツ力

磁場は動く電荷に力を及ぼす。F = qv × B で、力は速度と磁場の両方に垂直だ。速度と磁場の角を変えて力が sinθ で変わるのを見て、磁気力が仕事をしないので電荷が円を描くことを知る。

速度の角を変えて力を見る

均一な磁場の中で電荷の速度の向きを回してみよう。速度が磁場と平行なとき力はどれだけか。垂直なときはどうか。力はどちらを向くか。

速度と磁場の角 θθ = 55°

ドラッグで回転。スライダーで速度と磁場の角 θ。

この電荷が受ける磁気力

F = qv × B = qvB sinθ · 速度と磁場に垂直

F ⊥ v なので磁気力は仕事をしない · 速さはそのまま、向きだけ曲がる

力の大きさ(最大比) · 82%

斜め

場が力を及ぼす

EM-13 と EM-14 は電流が磁場を作る側だった。今度は逆だ。磁場はその中を通る電荷に力を及ぼす。ただし静止した電荷は磁気力を受けない。電荷が動くときだけ、その速度に応じて力が生じる。これが磁気力だ。電気力が電荷の量に働いたなら、磁気力は電荷の動きに働く。

外積、三つの直角

磁気力は外積で書く。F = qv × B。だから力は速度 v にも磁場 B にも垂直だ。三つのベクトルが互いに直角をなす。大きさは F = qvB sinθ で、θ は速度と磁場のなす角だ。速度が磁場と平行なら(θ=0)sinθ=0 で力はなく、垂直のとき(θ=90°)最も強い。向きは右手の法則で決まる。v から B へ指を巻くと親指が正電荷の受ける力の向きだ。

観察F = qvB sinθ

磁気力は sinθ に比例し、平行なら 0。

選ぶF = q ?

力は速度と磁場の外積だ。

仕事をしない

磁気力の最も不思議な点は、仕事をしないことだ。仕事は力と変位(速度の向き)の内積だが、磁気力は常に速度に垂直なので、その内積は 0 だ。だから磁気力は電荷の速さを決して変えられない。運動エネルギーはそのままだ。磁気力にできるのは向きを曲げることだけだ。加速器で磁石が粒子の進路を曲げても加速はできない理由、電気で仕事をするには電場が要る理由がここにある。

空欄F ⊥ v → W = ?

速度に垂直なので、する仕事は 0 だ。

円運動、ローレンツ、電流

速度が磁場に垂直なら、力が常に速度に直角なので電荷は一定の速さで円を描く。この力が向心力となり半径 r = mv/(qB) が決まる。磁場が強いほど円は小さくなる。速度に磁場と平行な成分があると、その向きには力がなくそのまま進むので、全体の軌跡はらせんになる。電気力と磁気力を合わせるとローレンツ力 F = q(E + v × B) だ。電流は動く電荷の集まりなので、磁場中の導線が受ける力は F = IL × B だ。

自分でF = ?

磁場中の電流導線が受ける力だ。

最初の画面に戻ると

最初の画面で速度を磁場と平行にすると力は 0 に消え、垂直に回すと最も大きくなった。大きさは sinθ に従った。そして力は常に速度と磁場が作る平面から抜け出し、両方に直角な向きを指した。外積 v × B の結果だ。この力は速度に垂直なので速さを変えられず、向きだけを曲げる。だから磁場中の電荷は円やらせんを描く。F = qv × B。

磁場は動く電荷にだけ力を及ぼす。F = qv × B で、力は速度と磁場の両方に垂直(外積)、大きさは qvB sinθ だ。速度が B と平行なら 0、垂直なら最大だ。力が常に速度に垂直なので仕事をせず、速さはそのままで向きだけ曲がり、電荷は円やらせんを描く。電気力まで合わせるとローレンツ力 F = q(E + v × B)、電流導線が受ける力は F = IL × B だ。

次へ続く道

アンペールの法則(EM-14)は積分形 ∮B·dl = μ₀I だった。次のユニットの回転(カール)とストークスの定理(EM-16)は、このループ積分を一点での微分形 ∇ × B = μ₀J に変える。発散定理(EM-07)がガウスの法則にしたことを、ストークスの定理がアンペールの法則にする。回転は、場が一点でどれだけ渦巻くかを測る道具だ。