磁気力とローレンツ力

速度の角度を変えて力を見る

水色の矢印が上向きの一様な磁場で、金色の球が正電荷です。スライダーで速度の矢印が磁場となす角を変えると、電荷が受ける力の矢印の長さが変わります。速度が磁場と平行なら力は消え、垂直なときにいちばん大きくなり、そのとき薄い円が電荷のたどる軌道を表します。力はいつも速度と磁場の両方に直角な向きを向きます。

場が力を及ぼす

EM-13 と EM-14 は、電流が磁場をつくる側でした。今回は逆に、磁場がその中を通る電荷に力を及ぼします。静止した電荷は磁気力を受けず、電荷が動くときだけ、その速度に応じた力が生じます。これが磁気力です。電気力が電荷の量に働くとすれば、磁気力は電荷の動きに働きます。

外積、三つの直角

磁気力は外積で書きます。F = qv × B。そのため力は速度にも磁場にも垂直で、三つのベクトルは互いに直角をなします。大きさは F = qvB sinθ で、θ は速度と磁場のなす角です。速度が磁場と平行なら(θ=0) sinθ=0 なので力はなく、垂直なとき(θ=90°)いちばん強くなります。向きは右手の法則で決め、速度から磁場の向きへ指を握り込むと、親指が正電荷の受ける力の向きです。負電荷なら力の向きは逆です。

仕事をしない

磁気力のいちばん不思議な点は、仕事をしないことです。仕事は力と変位の内積ですが、磁気力はいつも速度に垂直なので、その内積は 0 です。そのため磁気力は電荷の速さを変えられず、運動エネルギーもそのままです。磁気力にできるのは、向きを曲げることだけです。粒子加速器で磁石を使って粒子の進路を曲げ、速さを上げる仕事は電場に任せるのはこのためです。

円運動、ローレンツ、電流

速度が磁場に垂直なら、力はいつも速度と直角なので、電荷は一定の速さで円を描きます。この力が向心力になって半径 r = mv/(qB) が決まり、磁場が強いほど円は小さくなります。一周にかかる時間は速さによらず、磁場と質量と電荷だけで決まり、サイクロトロンはこの性質を利用しています。速度に磁場と平行な成分があれば、その向きには力がなくそのまま進むので、全体の軌跡はらせんになります。電気力と磁気力を合わせるとローレンツ力 F = q(E + v × B) で、電流は動く電荷の集まりなので、磁場の中の導線が受ける力は F = IL × B です。

最初の画面に戻ると

最初の画面で、速度を磁場と平行にすると力は 0 に消え、垂直に回すといちばん大きくなりました。大きさは sinθ に従いました。そして力はいつも速度と磁場がつくる平面の外へ抜け出し、両方に直角な向きを指していましたが、これは外積 v × B の結果です。この力は速度に垂直なので速さは変えられず向きだけを曲げ、そのため磁場の中の電荷は円やらせんを描きます。F = qv × B。

アンペールの法則(EM-14)は積分形 ∮B·dl = μ₀I でした。次のユニットの回転(カール)とストークスの定理(EM-16)は、この輪の積分を、一点で成り立つ微分形 ∇ × B = μ₀J に変えます。発散定理(EM-07)がガウスの法則にしたことを、ストークスの定理がアンペールの法則にするわけです。回転は、場が一点でどれだけ渦を巻いているかを測る道具です。