ビオ・サバールの法則

試験点を回して dB の大きさを見る

上向きに流れる金色の電流要素のまわりでスライダーで試験点を回すと、試験点についた微小な磁場の矢印の長さが変わります。電流と平行な上下では矢印が消え、電流に垂直な横でいちばん長くなります。矢印はいつも電流と試験点がつくる平面の外を向き、薄い輪に沿って電流を巻いて回る向きと同じです。

磁場は電流が作る

静止した電荷は電場をつくります(EM-03)。電荷が動くと、つまり電流が流れると、そのまわりにもう一つの場である磁場が生じます。方位磁針を電線のそばに置くと、電流が流れるときだけ針が回ります。磁場は電荷の量ではなく、電荷の流れから生まれます。磁石の磁気も原子の中の電子から生じ、その源は電子の軌道運動と、電子がもともともつスピンです。

ビオ・サバール、微小な磁場

電流の通り道を短い一片に切ったものを電流要素 I dl といいます。ビオ・サバールの法則は、この一片が距離 r だけ離れた点につくる微小な磁場を与えます。dB = (μ₀/4π) I dl × r̂ / r²。大きさは距離の二乗に反比例し、sinθ に比例します。θ は電流の向きとその点へ向かう向きのなす角です。向きは電流の向きとその点へ向かう向きの両方に垂直で、右手の法則で決まります。比例定数 μ₀ は真空の透磁率です。

磁場は電流を取り巻く

電場は電荷から四方へまっすぐ伸びていましたが、磁場は違います。外積 dl × r̂ のために、dB は電流を軸としてぐるりと取り巻きます。電流と平行な上下(θ=0)では sinθ=0 なので dB は 0 で、電流に垂直な横(θ=90°)でいちばん強くなります。そのため直線電流のまわりの磁場は同心円を描きます。右手の親指を電流の向きに立てると、残りの四本の指が磁場の回る向きを指します。

全体の磁場 = 積分

一片の dB がわかれば、電流の通り道全体に沿ってすべての一片の dB をベクトルとして足し、全体の磁場を得ます。B = ∫ dB です。EM-04 で点電荷の dE を電荷分布にわたって積分したのとまったく同じ構造です。無限に長い直線電流では、この積分が B = μ₀I/(2πr) ときれいに解け、磁場は距離に反比例します。一片は距離の二乗に反比例しても、果てしなく長い電流をすべて足すと次数が一つ下がるわけです。対称性がよければ、次のユニットのアンペールの法則で、この積分さえ飛ばせます。

最初の画面に戻ると

最初の画面で、試験点を電流と平行な上下へ動かすと dB は 0 に消え、電流に垂直な横へ動かすといちばん大きくなりました。大きさは sinθ に従いました。そして dB はいつも、電流と試験点がつくる平面の外へ抜け出し、電流をぐるりと取り巻く向きを指していましたが、これは外積 dl × r̂ の結果です。一片の dB を電流の経路に沿ってすべて足すと、全体の磁場 B になります。

ビオ・サバールの積分はどんな形の電流にも使えますが、手間がかかります。対称性がよければ近道があり、閉じた輪に沿って磁場を足した ∮B·dl が、その輪を通る電流に正比例するというアンペールの法則(EM-14)です。静電気のガウスの法則と同じように、直線・ソレノイド・トロイドの磁場を積分なしで求められます。