静電エネルギー

場を強めてエネルギーを見る

スライダーでコンデンサ間の電場を強めてみよう。隙間を満たす光(エネルギー密度)はどう明るくなるか。場を二倍にするとエネルギーは何倍になるか。

エネルギーはどこにあるか

コンデンサを充電するとエネルギーが蓄えられる(EM-11)。ではそのエネルギーはどこにあるのか。電荷の上にあるように見えるが、より深い答えは電場そのものの中にあるということだ。電荷を引き離して遠くへ運んでも、空間に電場が残るかぎりエネルギーもそこに残る。静電エネルギーは場が広がる空間の至る所に分布している。

エネルギー密度 u=½εE²

電場がある空間の一点の単位体積あたりのエネルギーをエネルギー密度 u という。u = ½εE² だ。要は場の二乗に比例することだ。場を二倍にするとエネルギー密度は四倍になり、場が少し強まるだけでエネルギーは急に増える。最初の画面で隙間の光が E² で明るくなったのが、まさにこの関係だ。

場の強い所に集まる

エネルギー密度は E² に比例するので、エネルギーは場の強い所に集まる。平行板コンデンサは場が均一で隙間全体に均等に広がるが、点電荷のまわりでは E が 1/r² なのでエネルギー密度は 1/r⁴ となり、電荷のすぐ近くに圧倒的に集中する。電場の地図さえあれば、エネルギーがどこにどれだけ蓄えられたかすぐ読める。

コンデンサのエネルギー = 場のエネルギー

二つの見方が出会う。回路の見方のコンデンサのエネルギー U = ½CV² と、場の見方の ∫u dV(密度を体積で積分したもの)はちょうど等しい。平行板で直接確かめられる。u = ½εE² に E = V/d と体積 Ad を入れると ½ε(V/d)²(Ad) = ½(εA/d)V² = ½CV² だ。同じエネルギーを電荷で数えても場で数えても答えは一つだ。エネルギーが場の中にあるというこの見方が、電磁波が空っぽの空間にエネルギーを運べる理由につながる。

最初の画面に戻ると

最初の画面で電場を強めると、隙間を満たす光が急に明るくなった。二倍強めると四倍明るくなった。エネルギー密度が u = ½εE² で場の二乗に従うからだ。その光こそ空間に広がったエネルギーだった。電荷ではなく電場がエネルギーを抱えていたのだ。コンデンサに集めた ½CV² も、体積ごとの ½εE² をすべて足したものとちょうど等しかった。

これで静電界の十二ユニットが完了した。座標系から電場、ガウスの法則、電位、静電エネルギーまで、静止した電荷の世界だ。今度は動く電荷、すなわち電流が作る磁場へ移る。次のブロックの最初のユニットはビオ・サバールの法則(EM-13)だ。エネルギーが場の中にあるという見方は、磁気エネルギー(EM-19)と電磁波のポインティングベクトル(EM-24)で再び出会う。