EM-09 · 静電界の道具道具を装着

勾配

勾配はスカラー場から最も急な上りの向きとその傾きを一つのベクトルとして取り出す。試験方向を回して、勾配とそろうとき上りが最も急になることを見て、電場がその逆向きだと知る(E = -∇V)。

最も急な上りを探す

傾いた電位の地形の上で試験の矢印を回してみよう。どの向きへ進むと最も急に上るか。等高線(等電位線)に沿うと傾きはいくらか。

試験方向 αα = 110°

ドラッグで回転。スライダーで試験方向 α。

この方向の上り

∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)

E = −∇V · 電場は勾配を下りに反転したもの

この方向の変化率(最大比) · 22%

等高線沿い · 上り 0

勾配、最も急な上り

スカラー場は各点に数を一つ与える(EM-02・EM-08)。勾配 ∇V はその数が最も速く増える向きを指し、矢印の長さがその向きの傾きの大きさだ。丘の地形で最も急に上る方向を一本の矢印で表したものだ。一つのスカラー場から一つのベクトル場が生まれる。

観察∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)

勾配は各軸方向の変化率を集めたベクトルだ。

方向微分、内積で

ある向き û へ動くときに電位が変わる割合を方向微分という。その値は勾配とその向きの内積 ∇V·û だ(EM-05 の内積と同じ原理)。û が ∇V とそろえば余弦が 1 で最大、直角なら 0 だ。だから等電位線に沿うと変化率は 0、勾配を正面からたどると最大になる。その最大の大きさがまさに |∇V| だ。

選ぶdV/ds = ∇V · ?

ある向きの変化率は勾配と単位ベクトルの内積だ。

空欄(dV/ds)_max = ?

勾配とそろうとき変化率が最大、その大きさが |∇V| だ。

等電位面と直角

変化率が 0 の向きが等電位線なので、勾配は常に等電位面に垂直だ(EM-08 で見た通り)。地形の等高線と最も急な上りが直角に交わるのと同じだ。だから勾配は向き(等電位面の法線)と大きさ(傾き)を一度に担う。

E = -∇V、スカラーからベクトルへ

電場は電位が最も速く減る方を指すので、勾配のちょうど逆だ。E = -∇V。マイナス符号が上りを下りに反転する。この一行がスカラー場 V からベクトル場 E をまるごと取り出す。電位一つを知れば電場の三成分が微分で得られる。逆に電場を経路に沿って積分すれば電位に戻る。

自分でE = ?

電場は電位の勾配の逆向きだ。

最初の画面に戻ると

最初の画面で試験の矢印を回すと、上りの傾きは向きごとに違った。等電位線に沿うときは 0、勾配とそろうとき最大だった。その最大の向きと大きさを一度に担うのが勾配 ∇V だ。方向微分 ∇V·û が余弦でそれを語る。電場はこの勾配を下りに反転した E = -∇V で、だから常に等電位面に垂直だった。

勾配 ∇V は、スカラー場 V から最も急な上りの向きとその傾きの大きさを一つのベクトルとして取り出す。成分は各軸の偏微分 (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z) だ。ある向き û の変化率は内積 ∇V·û で、û が ∇V とそろうとき最大(= |∇V|)だ。勾配は等電位面に垂直で、電場はその逆の E = -∇V だ。

道具を装着この道具を装着すると

勾配はスカラー場からベクトル場を取り出す道具だ。装着すれば、電位 V から電場 E = -∇V を直ちに得て(EM-08 を回収)、ポテンシャルのあるあらゆる問題で場を微分で求める。発散 ∇·(EM-07)と回転 ∇×(EM-16)とともにナブラ演算子 ∇ の三つの使い方をなし、マクスウェル方程式の微分形を支える。