EM-23 · 電磁波

波動方程式と平面波

空っぽの空間でファラデーとアンペール–マクスウェル、二つの回転式を噛み合わせると波動方程式が出る。その解は、電場と磁場が互いに垂直で進行方向にも垂直なまま同じ位相で走る平面波だ。速さは c = 1/√(μ₀ε₀)、すなわち光の速さだ。

平面波が走る様子を見る

空っぽの空間を走る電磁波だ。縦に揺れる電場(シアン)と横に揺れる磁場(ゴールド)が互いに垂直で、同じ拍子で一緒に最大になり一緒に 0 になる。波長を変えても波は常に同じ速さ c で進む。二つの場がなぜ同じ位相かを見よ。

波長 λλ = 2.5

ドラッグで回転。スライダーで波長 λ。

電磁波の速さと場

c = λf = 1/√(μ₀ε₀) · 波長が違っても速さは同じ

E ⊥ B ⊥ 進行方向 · E と B は同じ位相

波長 λ 2.5 · 振動数 f 0.44 · 速さ c = λ·f 1.10 (一定)

空っぽの空間の二つの回転式

電荷も電流もない空っぽの空間を考えよう。ρ = 0, J = 0 だ。するとマクスウェル方程式の二つの回転式だけが残る。ファラデー ∇×E = -∂B/∂t とアンペール–マクスウェル ∇×B = μ₀ε₀∂E/∂t だ。変わる電場が磁場を、その変わる磁場がまた電場を作る。二つは互いを養う。この噛み合いを式で解くと何が出るか。

波動方程式が出る

一つの回転式にもう一度回転を取り、他方を代入すると、電場だけで満たす式になる。∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t² だ。磁場も同じ形に従う。これが波動方程式だ。空間で二度曲がる度合いが時間で二度変わる度合いに比例するという意味で、揺れがその場に留まらず横へ広がるすべての波が従う形だ。水の波も音もこの形に従う。

観察∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²

二つの回転式が波動方程式を生む。

速さは光の速さ

あらゆる波動方程式 ∂²/∂x² = (1/v²)∂²/∂t² で v はその波の速さだ。電磁波の式と突き合わせると 1/v² = μ₀ε₀、すなわち v = 1/√(μ₀ε₀) だ。ここに二つの定数の測定値を入れると約 3×10⁸ m/s が出る。マクスウェルがこの値を計算したとき、それはすでに知られていた光の速さとぴったり同じだった。電気と磁気だけで積んだ式から光の速さが飛び出したのだ。光は電磁波だった。

選ぶc = ?

その速さは光の速さだ。

平面波、横波で同じ位相

波動方程式の最も簡単な解が平面波だ。E = E₀ cos(kx - ωt) で、一方向へ進む正弦波だ。磁場も同じ形で、大きさは B = E/c だ。三つが大事だ。第一に、E と B は進行方向に垂直な横波だ。第二に、E と B は互いに垂直だ。第三に、二つは同じ位相で、一緒に最大になり一緒に 0 になる。ファラデーの式が一方の空間の傾きを他方の時間変化に結ぶからだ。E × B は常に進行方向を指す。

空欄EB = ?

電場と磁場の比は c だ。

自分でE = E₀ cos(?)

平面波は進む正弦波だ。

最初の画面に戻ると

最初の画面で電場(縦)と磁場(横)は互いに垂直に、そして同じ拍子で一緒に揺れた。波長を伸ばしても縮めても波は常に同じ速さで進んだ。これが波動方程式の述べることだ。二つの回転式が噛み合って ∇²E = μ₀ε₀∂²E/∂t² をなし、その速さは波長によらず c = 1/√(μ₀ε₀) だ。E と B が同じ位相なのは、ファラデーの式が一方の空間の傾きを他方の時間変化に結ぶからだ。その光が今あなたの目に入っている。

波動方程式 ∇²E = μ₀ε₀∂²E/∂t² は、空っぽの空間でファラデーとアンペール–マクスウェルの二つの回転式を噛み合わせて得る。その解である平面波 E = E₀cos(kx - ωt) は、電場と磁場が互いに垂直で進行方向にも垂直な横波で、二つは同じ位相で一緒に揺れる(B = E/c)。速さは波長によらず c = 1/√(μ₀ε₀)、すなわち光の速さだ。

次へ続く道

この平面波で E × B は進行方向を指すだけでなく、エネルギーの流れでもある。次(EM-24)はそのエネルギー流を測るポインティングベクトル S = E × B / μ₀ を見て、電場がどの向きに揺れるかで決まる偏波を扱う。光が何を運び、どう振動するかへ入る。