电磁学

直角、柱、球坐标的微小体积与面元。亲手对齐弯曲边上的比例因子(ρ、r、r sinθ)。

场是给空间每个点附上一个值的函数。把空点先填上数、再填上箭头，亲眼看清标量场与矢量场的区别。

电场是电荷在其周围空间产生的矢量场。用距离滑块和符号开关亲眼看到 1/r² 衰减与方向反转，并读出试验电荷所受的力 F = qE。

连续电荷的电场，是对每个点电荷小块 dq 的微小场 dE 作矢量积分而得。增加分块数，亲眼看到和收敛到积分值。

通量是电场穿过面的多少，只数垂直分量(Φ=E·A=EA cosθ)。倾斜面看 cosθ 的变化，并看到闭合面的净通量如何通向散度。

穿过闭合面的净电通量只与面内电荷成正比(∮E·dA=Q/ε₀)。看到放大高斯面时它不变、电荷在外时为零，并在对称时无需积分求出 E。

闭合面的净通量等于内部散度的体积分(∮E·dA=∫∇·E dV)。分成单元看内部面相互抵消、只剩边界，并装备提取高斯微分形式 ∇·E=ρ/ε₀ 的工具。

电位 V 是单位电荷的势能，是一个标量场(V=kQ/r)。选择等位面看到 V 恒定、电场垂直穿过它由高 V 指向低 V(E=-∇V)。

梯度 ∇V 从标量场中提取最陡上升方向与坡度，合为一个矢量。旋转测试方向看到方向导数 ∇V·û 在对齐时最大，并装备得出电场 E=-∇V 的工具。

电场中电介质极化，表面束缚电荷产生反向场，使净场减弱 ε_r 倍(E=E₀/ε_r)。增大 ε_r 观察偶极子分开与场减弱。

电容是两个导体每伏特所存的电荷(C=Q/V=εA/d)。缩小极板间距并插入电介质，看到电容由几何与材料决定、且电介质使其增大 ε_r 倍。

静电能不在电荷、而在电场本身。能量密度 u=½εE² 与场的平方成正比、在场强处聚集，总量 U=∫u dV=½CV²。增强场观察 E² 增长。

磁场由电流产生。毕奥-萨伐尔定律给出电流元的微小磁场 dB=(μ₀/4π)I dl×r̂/r²。旋转测试点看到 dB 同时垂直于电流与距离、按 sinθ 增大，并理解 B=∫dB。

磁场环量 ∮B·dl 只与穿过回路的电流成正比(∮B·dl=μ₀I_enc)。看到放大回路时它不变、导线在外时为零，并在对称时无需积分求出 B=μ₀I/2πr。

磁场对运动电荷施力。F=qv×B 同时垂直于 v 与 B，大小为 qvB sinθ。改变夹角看 sinθ 的变化，并理解它不做功、电荷画出圆或螺旋。

回路环量 ∮F·dl 等于内部旋度的面积分(∮F·dl=∫(∇×F)·dA)。分成单元看内部边相互抵消、只剩边界回路，并装备提取安培微分形式 ∇×B=μ₀J 的工具。

电感 L 是线圈对自身电流变化的磁惯性(L=NΦ/I)。增大电流变化率看到反电动势 ε=-L dI/dt 增大，并理解储能 ½LI²。

磁性体内的原子磁体排列对齐(磁化 M)，净磁场增大 μ_r 倍(B=μ_r B₀=μH)。增大 μ_r 观察磁矩排列与场增强，并理解与电介质削弱电场的对比。

磁能不在电流、而在磁场本身。能量密度 u=B²/2μ 与场的平方成正比、在场强处聚集，总量 U=∫u dV=½LI²。增强场观察 B² 增长。

变化的磁通量产生电动势(ε=-dΦ/dt)。旋转回路看到磁通 Φ=BA cosθ 与电动势 ε∝sinθ 相差 90°、正对时磁通最大而电动势为零，并理解微分形式 ∇×E=-∂B/∂t。

变化的电场产生磁场(I_d=ε₀ dΦ_E/dt)。为电容器充电，看磁场为何也绕着没有电荷越过的极板缝隙旋转，并理解修正后的安培 ∮B·dl=μ₀(I_c+I_d) 与微分形式 ∇×B=μ₀J+μ₀ε₀∂E/∂t。

把已学的四个定律汇于一处。用按钮逐一查看高斯、磁高斯、法拉第、安培–麦克斯韦，看两个散度（源头）与两个旋度（用时间相绑的环）的结构，以及闭合体系如何给出电磁波 c=1/√(μ₀ε₀)=光。

在空旷空间把法拉第与安培–麦克斯韦啮合，便得波动方程 ∇²E=μ₀ε₀∂²E/∂t²。观察奔行的平面波，理解 E⊥B⊥传播方向（横波）且二者同相，以及波长不同速度仍恒为 c=1/√(μ₀ε₀)=光。

电磁波沿传播方向输运能量，这一流动即坡印廷矢量 S=E×B/μ₀。偏振是 E 摆动的方向。旋转偏振角，B 始终垂直于 E，故能量流 S 方向与大小都不变；并看强度 I=½ε₀cE₀²。

光在两种介质的界面分为反射（θ_r=θ₁）与折射（斯涅尔定律 n₁ sinθ₁=n₂ sinθ₂），因为光在介质中减慢为 v=c/n。增大入射角，在致密→稀疏介质中越过临界角（sinθ_c=n₂/n₁）时，看光全部反弹的全反射。

当线长与波长相当时，电压与电流以波奔行，其比即特性阻抗 Z₀=√(L/C)。调节负载 Z_L 观察反射系数 Γ=(Z_L−Z₀)/(Z_L+Z₀) 与驻波，并看匹配（Z_L=Z₀）时 Γ=0、反射消失、功率 100% 传递。

把复阻抗映射为反射系数圆盘上一点的工具。把归一化 z=r+jx 经 Γ=(z−1)/(z+1) 打点，调节电阻 r 与电抗 x，让点落到中心匹配点（z=1, Γ=0）。掌握电阻圆与电抗弧的格栅，以及沿线转动的点（每 λ/2 一圈）。

把失配负载变得看起来像 Z₀，使反射归零（Γ=0, SWR=1），完整传递功率。调 λ/4 变换器阻抗 Z₁，找出使 Z_in=Z₁²/Z_L=Z₀ 的值 Z₁=√(Z₀Z_L)，看主线驻波消失。复数负载用短截线匹配。EM 课程的终点。