EM-20 · 时变场

法拉第定律

变化的磁通产生电场（电动势）。在旋转的环中，看到磁通变化最快的瞬间感应电动势最大，而磁通最大时电动势反为零。ε = -dΦ/dt。

旋转环观察感应电动势

在均匀磁场中把旋转的环逐一瞬间停下。环正对场时（磁通最大）与立成边缘时（磁通为零），感应电动势各是多少？磁通与电动势为何错开？

环角度 θ（旋转相位）θ = 45°

拖动旋转。滑块设置环的角度 θ。

环的磁通与感应电动势

ε = -dΦ/dt · 磁通变化越快，电动势越大

Φ = ∫B·dA = BA cosθ · 穿过环的磁通

磁通 71% · 电动势 71%

倾斜

变化的磁场产生电

至今电与磁各自独立，静电场与静磁场互不理睬。法拉第打破了这堵墙。把磁体靠近线圈或拉远，线圈中就有电流流动；磁体静止则什么也不发生。变化的磁场产生了电场，即电动势。这是磁第一次产生电的时刻。发电机与变压器都源于此。

磁通及其变化

穿过环的磁通是 Φ = ∫B·dA，即垂直穿过环的磁场量(EM-05)。法拉第定律说感应电动势与这磁通的变化率成正比：ε = -dΦ/dt。改变磁通有三条路：改变磁场 B（移动磁体）、改变环的面积、或旋转环改变其朝向。无论哪种，Φ 变化越快，电动势越大。

观察ε = −dΦ/dt

电动势是磁通的变化率。

选择Φ = ?

磁通是穿过环的 B 的面积分。

楞次，阻碍变化

负号是法拉第定律的良心。感应电流总是朝阻碍产生它的那个磁通变化的方向流动——这就是楞次定律。把磁体推入环，环就产生推回它的磁场；抽出时，环产生挽留它的磁场。若它反而助长变化，电流就会自行增大、能量无穷涌出。所以楞次定律其实是能量守恒的另一副面孔。

发电机与微分形式

让环以恒定速率旋转，磁通便按 Φ = BA cosωt 振荡，电动势为 ε = -dΦ/dt = BAω sinωt——正弦交流。这就是发电机的原理。正如第一屏所示，环正对场、磁通最大的瞬间变化率为零，电动势也为零；立成边缘、磁通为零的瞬间变化最快，电动势最大。把法拉第定律写在一点上，就得微分形式 ∇ × E = -∂B/∂t：变化的磁场产生打旋的电场（EM-16 的旋度）。

填空ε = BAω ?

旋转环的电动势按正弦振荡。

自己来∇ × E = ?

变化的磁场产生打旋的电场。

回到第一屏

在第一屏，环正对时（磁通最大）感应电动势为零，立成边缘时（磁通为零）最大。因为电动势跟随的不是磁通，而是磁通的变化率。磁通最大的瞬间在顶点处变化暂停，故电动势为零；磁通过零的瞬间变化最陡，故电动势最大。所以磁通(cos)与电动势(sin)错开一拍。ε = -dΦ/dt。变化的磁场产生电。

法拉第定律指出，变化的磁通产生电动势：ε = -dΦ/dt。穿过环的磁通 Φ = ∫B·dA 变化越快，感应电动势越大。负号表示感应电流朝阻碍该变化的方向流动（楞次 = 能量守恒）。旋转环给出 ε = BAω sin(ωt)，即交流（发电机）。微分形式为 ∇ × E = -∂B/∂t。

接下来的路

法拉第说“变化的磁场产生电场”。麦克斯韦反问其镜像：变化的电场难道不也产生磁场？答案就是位移电流(EM-21)。把这一项加进安培定律，电与磁便完全对称，于是相互产生、奔行于空间的电磁波才成为可能。