EM-20 · 时变场

法拉第定律

穿过线圈的磁通一变化，线圈中就产生电动势。在旋转的线圈中亲眼确认：磁通变化最快的瞬间感应电动势最大，而磁通最大的瞬间电动势反而为 0。ε = -dΦ/dt。

旋转环观察感应电动势

天蓝色箭头是匀强磁场，用滑块设定置于其中的线圈角度。线圈正对磁场时（磁通最大），金色电流箭头消失；线圈侧立时（磁通 0），箭头最长。为什么磁通最大时电动势反而最小，这就是本课要回答的问题。

线圈角度 θ（旋转相位）θ = 45°

拖动可转动视角，滑块设定线圈角度 θ。

线圈的磁通与感应电动势

ε = -dΦ/dt · 磁通变化越快，电动势越大

Φ = ∫B·dA = BA cosθ · 穿过线圈的磁通

磁通 71% · 电动势 71%

倾斜

磁通变化产生电流

在静电场和静磁场中，电与磁一直被当作两个各自独立的场来计算。法拉第发现，只有在把磁铁移近或移离线圈的过程中，线圈里才有电流；磁铁一停，什么也不会发生。产生电流的不是磁场本身，而是磁场的变化。发电机、变压器、电吉他的拾音器，以及不带电池、靠读卡器供电的公交卡，都源自这一发现。

磁通及其变化

穿过线圈的磁通 Φ = ∫B·dA，是垂直穿过线圈面的磁场在整个面上的总和（EM-05）。法拉第电磁感应定律指出，感应电动势等于磁通变化率的负值：ε = -dΦ/dt。改变磁通有三种方法：改变磁场 B（移动磁铁或改变电流）、改变线圈面积、转动线圈改变面的朝向。无论哪种，决定电动势的只有磁通变化的快慢，与磁通本身的大小无关。线圈绕 N 匝时，同样的变化累加 N 次，电动势也变为 N 倍。

观察ε = −dΦ/dt

电动势由磁通变化的快慢决定。

选择Φ = ?

磁通是 B 在线圈面上的面积分。

负号与楞次定律

公式前的负号决定感应电流的方向。感应电流总是阻碍引起它的磁通变化，这就是楞次定律。把磁铁的 N 极推向线圈，线圈电流产生的磁场就把磁极往外推；把磁铁拉出，电流产生的磁场就把它往回拉。假如感应电流帮助变化，微小的扰动就会自行放大，不投入任何东西也能源源不断地产生能量，所以楞次定律其实是用电流方向写出的能量守恒。从发电机取出电流时转起来更费力，也是这个原因：从线圈取出的电能来自转动它的一方所做的功。

发电机与微分形式

让线圈以恒定角速度 ω 转动，磁通按 Φ = BA cosωt 振荡，电动势为 ε = -dΦ/dt = BAω sinωt。这就是发电机输出的正弦交流电。正如第一屏所见，线圈正对磁场、磁通最大的瞬间，变化率为 0，电动势也为 0；线圈侧立、磁通为 0 的瞬间，变化最快，电动势最大。把法拉第定律写在一点上，就得到微分形式 ∇ × E = -∂B/∂t，意思是变化的磁场周围伴随着涡旋电场（EM-16 的旋度）。不过像本图这样磁场不变而导线运动时，并没有涡旋电场，电动势来自随导线运动的电荷所受的洛伦兹力。两种情形都能用同一条磁通规则算出相同的值，这正是法拉第定律好用的地方。

填空ε = BAω ?

匀速转动的线圈，电动势按 sin 起伏。

自己来∇ × E = ?

变化的磁场周围伴随着涡旋电场。

回到第一屏

在第一屏，线圈正对磁场时（磁通最大）感应电动势为 0，侧立时（磁通 0）电动势最大。这是因为电动势跟随的不是磁通的大小，而是磁通变化的快慢。磁通最大的瞬间是由升转降的峰顶，变化暂停一瞬，所以电动势为 0；磁通经过 0 的瞬间是曲线最陡的地方，所以电动势最大。因此磁通（cos）与电动势（sin）相差四分之一个周期。ε = -dΦ/dt：变化的磁通产生电。

法拉第电磁感应定律：穿过线圈的磁通变化时会产生电动势。ε = -dΦ/dt。磁通 Φ = ∫B·dA 变化越快，感应电动势越大；负号表示感应电流总是阻碍这一变化（楞次定律 = 能量守恒）。匀速转动的线圈给出交流电动势 ε = BAω sin(ωt)（发电机）。微分形式为 ∇ × E = -∂B/∂t。

接下来的路

法拉第定律说的是变化的磁场产生电场。麦克斯韦追问反过来是否也成立，答案是肯定的：变化的电场也产生磁场，这一项就是位移电流（EM-21）。把它加进安培定律，电和磁的方程就成双成对，两个场相互激发、在真空中传播的电磁波也就成为可能。