EM-15 · 静磁场

磁力与洛伦兹力

磁场对运动电荷施力：F = qv × B，力同时垂直于速度与磁场。改变 v 与 B 的夹角看到力按 sinθ 变化，并理解磁力不做功、故电荷做圆周运动。

改变速度角度观察力

在均匀磁场中旋转电荷的速度方向。速度与磁场平行时力多大？垂直时如何？力指向哪个方向？

速度与磁场夹角 θθ = 55°

拖动旋转。滑块设置速度与磁场的夹角 θ。

此电荷所受磁力

F = qv × B = qvB sinθ · 同时垂直于速度与磁场

F ⊥ v，故磁力不做功 · 速率不变，只弯曲方向

力大小（相对最大） · 82%

倾斜

场施加力

EM-13 与 EM-14 是电流产生磁场的一面。这次相反：磁场对穿过其中的电荷施力。但静止电荷不受磁力；只有运动时才依其速度产生力。这就是磁力。电力作用于电荷的多少，磁力则作用于电荷的运动。

叉积，三重垂直

磁力写成叉积：F = qv × B。所以力既垂直于速度 v，也垂直于磁场 B；三个矢量两两成直角。大小为 F = qvB sinθ，θ 是速度与磁场的夹角。速度与磁场平行时(θ=0) sinθ=0，无力；垂直时(θ=90°)最强。方向由右手定则确定：手指从 v 卷向 B，拇指即正电荷所受力的方向。

观察F = qvB sinθ

磁力与 sinθ 成正比，平行时为零。

选择F = q ?

力是速度与磁场的叉积。

不做功

磁力最奇妙之处是它不做功。功是力与位移（速度方向）的点积，而磁力始终垂直于速度，所以这个点积为零。因此磁力永远改变不了电荷的速率，其动能不变。磁力能做的只是弯曲方向。这就是加速器中磁体能引导粒子路径却不能使其加速、用电做功需要电场的缘由。

填空F ⊥ v → W = ?

垂直于速度，所做的功为零。

圆周运动、洛伦兹、电流

速度垂直于磁场时，力始终与速度成直角，电荷以恒定速率画圆。这个力充当向心力，定出半径 r = mv/(qB)；磁场越强圆越小。若速度有沿磁场的分量，那方向无力便径直前进，整条轨迹成为螺旋。把电力与磁力合起来就是洛伦兹力 F = q(E + v × B)。电流是运动电荷之流，所以磁场中导线所受的力为 F = IL × B。

自己来F = ?

这是磁场中载流导线所受的力。

回到第一屏

在第一屏，把速度与磁场对齐时力消为零，转到垂直时最大。大小遵循 sinθ。而且力总是从速度与磁场所成的平面中穿出，指向与二者都成直角的方向。这正是叉积 v × B 的结果。由于垂直于速度，这个力改变不了速率，只弯曲方向，所以磁场中的电荷画出圆或螺旋。F = qv × B。

磁场只对运动电荷施力：F = qv × B，力同时垂直于速度与磁场（叉积），大小为 qvB sinθ。速度与 B 平行时为零，垂直时最大。由于始终垂直于速度，它不做功，故速率不变、只弯曲方向——电荷画出圆或螺旋。再加上电力即洛伦兹力 F = q(E + v × B)；载流导线所受力为 F = IL × B。

接下来的路

安培定律(EM-14)是积分形式 ∮B·dl = μ₀I。下一单元的旋度与斯托克斯定理(EM-16)把这个回路积分变成逐点的微分形式 ∇ × B = μ₀J。散度定理(EM-07)为高斯定律所做的，斯托克斯定理为安培定律来做。旋度是度量场在某点打旋多少的工具。