EM-13 · 静磁场

毕奥-萨伐尔定律

磁场由运动电荷（即电流）产生。毕奥-萨伐尔定律给出电流元在某点产生的微小磁场 dB。旋转测试点，看到 dB 同时垂直于电流方向与到该点的方向，并按 sinθ 增大。

旋转测试点观察 dB

绕着向上流动的电流元旋转测试点。在与电流平行的一侧（上下）微小磁场 dB 有多大？在垂直一侧又如何？dB 指向哪个方向？

测试点角度 θ（与电流的夹角）θ = 50°

拖动旋转。滑块设置测试点角度 θ。

此点的微小磁场 dB

dB = (μ₀/4π)(I dl sinθ)/r² · 同时垂直于电流与距离方向

B = ∫ dB = (μ₀/4π)∫ I dl × r̂ / r² · 沿电流路径积分

dB 大小（相对最大） · 77%

倾斜

磁场由电流产生

静止电荷产生电场(EM-03)。当电荷运动、即有电流流动时，其周围出现一种新的场：磁场 B。把指南针放在导线旁，只有电流流动时针才偏转。磁场不来自电荷的多少，而来自电荷的流动。所以磁体其实也是由原子内电子的流动产生的。

毕奥-萨伐尔，微小磁场

把电流路径切成的一小段叫电流元 I dl。毕奥-萨伐尔定律给出这一段在相距 r 的点产生的微小磁场：dB = (μ₀/4π) I dl × r̂ / r²。其大小与距离平方成反比、与 sinθ 成正比（θ 是电流方向与到该点方向的夹角）。方向同时垂直于电流方向与该方向，由右手定则确定。比例常数 μ₀ 是真空磁导率。

观察dB ∝ I dl sinθr²

dB 与 sinθ 成正比、与距离平方成反比。

选择dB ∝ dl × ?

dB 的方向是 dl 与 r̂ 的叉积。

填空dB = (μ₀4π) ?

毕奥-萨伐尔定律给出一段的 dB。

磁场环绕电流

电场从电荷沿径向直直伸出。磁场不同。由于叉积 dl × r̂，dB 以电流为轴环绕一圈。在与电流平行的上下方(θ=0)，sinθ=0，故 dB 为零；在垂直一侧(θ=90°)最强。所以直线电流周围的磁场画成同心圆。右手拇指顺电流方向，其余手指弯曲所指即磁场环绕方向。

整体磁场 = 积分

知道了一段的 dB，就沿整条电流路径把每段的 dB 作为矢量相加，得到整体磁场：B = ∫ dB。这与 EM-04 中把点电荷的 dE 对电荷分布积分是完全相同的结构。例如对无限长直线电流，这个积分干净地解得 B = μ₀I/(2πr)，磁场与距离成反比。对称性良好时，下一单元的安培定律连这个积分都能略去。

自己来B = ?

整体磁场是沿电流对 dB 的积分。

回到第一屏

在第一屏，把测试点沿电流移到上下方时 dB 消为零，移到垂直一侧时最大。大小遵循 sinθ。而且 dB 总是从电流与测试方向所成的平面中穿出，指向环绕电流的方向。这正是叉积 dl × r̂ 的结果。把这一段的 dB 沿电流路径全部相加，就得到整体磁场 B。

毕奥-萨伐尔定律给出电流元 I dl 在某点产生的微小磁场 dB：dB = (μ₀/4π) I dl × r̂ / r²，同时垂直于电流方向与到该点的方向（右手），与距离平方成反比，并与 sinθ 成正比。沿电流方向为零，垂直方向最大。整体磁场是沿电流路径的积分 B = ∫ dB。

接下来的路

毕奥-萨伐尔积分对任何电流形状都适用，但很费功夫。对称性好时有捷径：安培定律(EM-14)——磁场沿闭合回路求和 ∮B·dl 与穿过回路的电流成正比。正如静电场的高斯定律，它无需积分即可求出直线、螺线管、环形线圈的磁场。