EM-04 · 静电场

连续电荷的积分

连续分布电荷的电场，是把它切成无数点电荷小块、再把每块的微小场作为矢量相加而得。亲眼看到：分得越细，和就越接近真值。

增加分块，逼近积分

选择把电荷棒切成几块。把每块产生的微小箭 dE 首尾相接，就得到整体电场 E。分块越多，和如何变化？

分块数 N

拖动旋转。按钮设置分块数 N。

P 点的电场 E（各块之和）

E = ∫ dE = ∫ k dq/r² r̂ · 微小场之和

dq = λ dl = σ dA = ρ dV · 线、面、体积密度

收敛度 · 70%

粗略近似

单个点电荷的电场我们在 EM-03 看过了。当电荷像棒或板那样连续分布时，就把它看作无数点电荷小块。每块 dq 产生微小电场 dE = k dq/r² r̂。整体场就是把所有这些微小场相加，而这种对越来越细的小块求和，就是积分。

观察dE = k dqr² r̂

一块就像点电荷那样产生 dE。

一块的电荷 dq 等于密度乘以这块的大小。线电荷为 dq = λ dl，面电荷为 dq = σ dA，体电荷为 dq = ρ dV。这里的 dl、dA、dV 就是你在 EM-01 选好的微元。选择与对称性相符的坐标系，这个积分就会很干净。

选择dq = ?

线电荷一块的电荷是密度乘以长度。

切成 N 块时，N 个微小场的矢量和就是近似值。增大 N、让分块无限细，和便收敛到一个值。这个极限就是积分 E = ∫ k dq/r² r̂。电场是矢量，所以要逐分量分别积分。

填空E = ?

积分就是把微小场无限相加。

自己来E = ?

整体场是对每一块的 dE 积分所得。

因为 dE 是矢量，不只是大小、连方向也一同相加。若存在对称性，部分分量会互相抵消。例如对于很长的直线电荷，沿棒方向的分量全部抵消，只剩垂直分量，所以答案变得简单。先看清哪些分量得以保留，正是积分的窍门。

在第一屏，只有一块时相当于把棒看成中央的一个点，所以箭偏了。增加分块后，微小场 dE 首尾相接，和收敛到一个方向、一个大小。这个收敛值就是积分 E = ∫ k dq/r² r̂。积分归根到底，就是把细切的点电荷之场毫无遗漏地加起来。

连续电荷的电场，是把分布切成无数点电荷小块 dq，并把每块的微小场 dE = k dq/r² r̂ 作为矢量积分而得。即 E = ∫ k dq/r² r̂，其中每块电荷为 dq = λ dl（线）、σ dA（面）、ρ dV（体）。

接下来的路

直接积分对任何分布都适用，但很费功夫。当对称性良好时，还有更快的路。数一数电场穿过闭合面的多少——通量与散度(EM-05)以及高斯定律(EM-06)——就能不做积分而求出对称分布的场。