EM-04 · 静电场

连续电荷的积分

连续分布的电荷产生的电场，是把电荷分成许多点电荷小段，再把各小段产生的微小电场按矢量全部相加得到的。亲眼看看分得越细，和就越接近真值。

增加小段，逼近积分

用按钮选择把带电棒分成几段，各段产生的小箭头 dE 首尾相接，就构成 P 点的总电场 E。只有一段时，和连方向都偏了；段数增加后，箭头链的末端会收拢到一点。指示器上的收敛度以百分比表示这个和离真值有多近。

分块数 N

拖动旋转，按钮改变段数（N）。

P 点的电场 E（各块之和）

E = ∫ dE = ∫ k dq/r² r̂ · 微小场之和

dq = λ dl = σ dA = ρ dV · 线、面、体积密度

收敛度 · 70%

粗略近似

一个点电荷产生的电场，已在 EM-03 中看过。电荷像棒或板那样连续分布时，可以把它看成许多点电荷小段。一小段产生的微小电场是 dE = k dq/r² r̂。总电场是这些微小电场的总和，而分到无限细之后再做的加法，就是积分。

观察dE = k dqr² r̂

一小段像点电荷一样产生 dE。

一小段的电荷 dq 等于电荷密度乘以该段的大小。线电荷 dq = λ dl，面电荷 dq = σ dA，体电荷 dq = ρ dV。这里的 dl, dA, dV 就是在 EM-01 中选出的微元，所以选好符合对称性的坐标系，这个积分也会变得简洁。

选择dq = ?

线电荷小段的电荷等于线密度乘以长度。

把棒分成 N 段，N 个微小电场的矢量和就是近似值。增大 N，把小段分到无限小，和就收拢到一个值，这个极限就是积分 E = ∫ k dq/r² r̂。电场是矢量，所以实际计算时要按分量分别积分。图中的棒只分成四段，收敛度就已接近百分之百，因为小段越小，把每段看作点电荷的近似就越准确。

填空E = ?

积分就是把微小电场分到无限细后全部相加。

自己来E = ?

总电场是所有小段的 dE 的积分。

微小电场 dE 是矢量，所以大小和方向一起相加。有对称性时，部分分量会相互抵消。在很长的直线电荷中点旁边，沿线方向的分量全部抵消，只剩垂直分量，答案就变得简单。图中的 P 点在棒的端点外侧，没有这样的抵消，多个方向的分量都保留下来。开始积分前，先看清哪些分量会保留下来，这就是诀窍。

在第一个画面里，只有一段时，相当于把棒看成中间的一个点，所以箭头连方向都偏了。段数增加后，微小电场 dE 首尾相接，和收拢到一个方向、一个大小。这个收敛值就是积分 E = ∫ k dq/r² r̂。归根结底，积分就是把细分后的点电荷产生的电场一个不漏地加起来。

连续电荷的电场，是把分布分成无数点电荷小段 dq，再把各段的微小电场 dE = k dq/r² r̂ 按矢量积分得到的。E = ∫ k dq/r² r̂，小段的电荷为 dq = λ dl（线）、σ dA（面）、ρ dV（体）。

接下来的路

直接积分对任何分布都适用，但很费工夫。对称性好的分布有更快的路。进入数电场穿过闭合曲面多少的电通量与散度（EM-05），再到高斯定律（EM-06），就能不做积分求出对称分布的电场。