散度定理

连接表与内

把区域分成小单元。在两个相邻单元相接的面上，一方送出多少另一方就接收多少，于是相互抵消。始终没被抵消、留下来的是什么？

连接表与内的桥

高斯定律讲的是闭合面的通量（表）。散度定理把这个表的通量与内部每一点散度在体积上的总和联系起来：∮E·dA = ∫(∇·E)dV。它说在面上测得的量等于在体积内测得的量。

为何成立——邻面抵消

把区域分成小单元，把每个单元的净通量都加起来。在两单元相接的内部面上，一个流出的流就是流入另一个的流，符号相反。所以内部面成对抵消。始终没有配对的，只有外边界上的面。于是把每个单元的散度相加，只剩外表面的通量。

散度，单位体积的涌出

把单元缩到无穷小，它的净通量除以体积就成为某点的散度 ∇·E——单位体积在该点涌出的场量。散度为正的点是喷出场的源（正电荷），为负的是吸入处（负电荷）。散度定理说，把这种逐点涌出在体积上汇集起来，就得到表面的通量。

高斯定律的微分形式

把散度定理代入高斯定律。表面通量 ∮E·dA 是 Q/ε₀，内部是 ∫(∇·E)dV。封闭电荷 Q 是密度对体积的积分 ∫ρ dV。于是 ∫(∇·E)dV = ∫(ρ/ε₀)dV 对任意体积都成立，所以被积函数必须相等：∇·E = ρ/ε₀。一行积分形式变成了逐点的微分形式——这就是麦克斯韦方程组的第一个。

回到第一屏

在第一屏，区域分得越细，内部相接的面越密，但它们都成对抵消。最后留下的只有外边界的面。所以把每个单元散度相加的体积分，与表面的面积分恰好相等：∮E·dA = ∫(∇·E)dV。把这座桥放进高斯定律，就得出微分形式 ∇·E = ρ/ε₀。

散度定理是在面积分与体积分之间自由往返的工具。装备后，高斯定律的微分形式 ∇·E = ρ/ε₀（麦克斯韦 1，EM-22）就到手了，并与绕回路的对偶定理斯托克斯定理(EM-16)成对。积分形式用于对称问题，微分形式用于场的局部结构与麦克斯韦方程组。