散度定理

连接外部与内部

金色立方体是闭合曲面，青色线是把它内部分成小格的网格。用按钮增加划分，小格之间共用的面就变多，而在这样的面上，一边送出多少，另一边就接收多少，像那对灰色箭头一样相互抵消。最后留下来的，只有从外表面穿出的金色箭头。

连接表与内的桥

高斯定律讲的是在闭合曲面，也就是外部测得的通量。散度定理把这个外部通量与内部每一点的散度在整个体积上的总和联系起来，说两者相等。∮E·dA = ∫(∇·E)dV。在面上测得的量等于在体积内测得的量，这座桥不是只适用于电场的物理定律，而是对任何光滑矢量场都成立的数学定理。

为何成立——邻面抵消

把区域分成小格，求出每格的净通量再全部相加。在两个小格共用的内部面上，一个小格送出的流正是流入相邻小格的流，两个值符号相反。因此内部的面成对抵消，最后没有配对的只有外边界上的面。结果，把所有小格的通量相加，只剩下外边界的通量。

散度，单位体积的涌出

把小格无限缩小，该小格的净通量除以体积，就成为一点的散度 ∇·E，即该点单位体积涌出的场量。散度为正的点有发出电场的源（正电荷），为负的点有吸入电场的汇（负电荷）。散度定理说，把这些逐点涌出的量在整个体积上汇总，就是外部的通量。

高斯定律的微分形式

把散度定理代入高斯定律。外部通量 ∮E·dA 等于 Q/ε₀，内部是 ∫(∇·E)dV。所包围的电荷 Q 是电荷密度在体积上的积分 ∫ρ dV。于是 ∫(∇·E)dV = ∫(ρ/ε₀)dV 对任意选取的体积都成立，两个被积函数必须相等。∇·E = ρ/ε₀。一行积分形式变成了在每一点都成立的微分形式，这就是麦克斯韦方程组的第一个方程。

回到第一屏

在第一个画面里，区域分得越细，内部共用的面就越密，但它们全都成对抵消。最后留下来的只有外边界的面。所以把所有小格的散度相加的体积分，恰好等于外部的面积分。∮E·dA = ∫(∇·E)dV。把这座桥放到高斯定律上，就得出微分形式 ∇·E = ρ/ε₀。

散度定理是让面积分与体积分自由互换的工具。装备了这个工具，就能得到高斯定律的微分形式 ∇·E = ρ/ε₀（麦克斯韦 1·EM-22），并与绕闭合回路的配对定理斯托克斯定理（EM-16）组成一对。积分形式用于有对称性的问题，微分形式用于场的局部结构和麦克斯韦方程组。