旋度与斯托克斯定理

连接回路与其内部

金色回路是曲面的边界，青色网格把曲面分成小格。每个小格都有一个小的旋转标记；用按钮增加划分，在相邻两格共用的边上，一格的环流和相邻一格的环流像那对灰色箭头一样方向相反、相互抵消。最后没有被抵消的，只有绕金色边界回路的环量。

连接回路与内部的桥

安培定律（EM-14）讲的是绕闭合回路的环量 ∮B·dl。斯托克斯定理把两者联系起来：这个回路的环量，等于以回路为边界的曲面上每一点的旋度在曲面上的积分。∮F·dl = ∫(∇×F)·dA。旋度 ∇×F 是衡量场在一点上旋转程度的矢量。只要是张在同一回路上的曲面，无论平的还是鼓起的，结果都相同，这一性质后来引出了需要位移电流的原因。如果说散度定理（EM-07）连接了面与体，那么斯托克斯定理连接了回路与面。

为何成立——邻边抵消

把曲面分成小格，求出每格的小环量再全部相加。在两格共用的内部边上，一格沿某个方向绕过这条边，相邻一格就沿相反方向绕过同一条边。因此内部边的贡献成对抵消，最后没有配对的只有外边界上的边。结果，把所有小格的环量相加，只剩下边界回路的环量。一个小格的小环量除以它的面积，正是旋度 ∇×F。

旋度，单位面积的环量

把小格无限缩小，该小格的环量除以面积，就成为一点的旋度 ∇×F，也就是该点单位面积上的旋转量。旋度是矢量，指向旋转最强的平面的法线方向，方向由右手确定。这就像测量漂在水中的小叶轮在一点上转得多快、绕哪个轴转。如果说散度测量的是涌出，那么旋度测量的是涡旋。

安培定律的微分形式

把斯托克斯定理代入安培定律。回路环量 ∮B·dl 等于 μ₀I，内部是 ∫(∇×B)·dA。穿过回路的电流 I 是电流密度在曲面上的积分 ∫J·dA。于是 ∫(∇×B)·dA = ∫(μ₀J)·dA 对任意选取的曲面都成立，两个被积函数必须相等。∇×B = μ₀J。一行积分形式变成了在每一点都成立的微分形式。它与散度定理给出的高斯定律微分形式 ∇·E=ρ/ε₀ 成对，是麦克斯韦方程组中的又一个方程。

回到第一屏

在第一个画面里，曲面分得越细，内部共用的边就越密，但它们全都成对抵消，因为一格朝一个方向转，相邻一格就朝相反方向转。最后留下来的只有外边界的边，所以把所有小格的旋度相加的面积分，恰好等于边界回路的环量。∮F·dl = ∫(∇×F)·dA。把这座桥放到安培定律上，就得出微分形式 ∇×B = μ₀J。

斯托克斯定理是让回路积分与面积分自由互换的工具。装备了这个工具，就能得到安培定律的微分形式 ∇×B = μ₀J，并与散度定理（EM-07）的 ∇· 成对，凑齐纳布拉算子的三种用法（∇, ∇·, ∇×）。经过法拉第定律（EM-20）和位移电流（EM-21），它支撑起麦克斯韦方程组的整个微分形式。