EM-16 · 静磁场工具装备工具

旋度与斯托克斯定理

绕闭合回路求和的环量，等于它所围面上每一点旋度的面积分。把面分成单元，看内部边相互抵消、只剩外边界，并由此提取安培定律的微分形式。

连接回路与内部

把面分成小单元。在两个相邻单元相接的边上，一个单元的环量与另一个反向流动，于是相互抵消。始终没被抵消、留下来的是什么？

分块数 N（每边）

拖动旋转。按钮设置分块数 N。

斯托克斯定理

∮F·dl = ∫(∇×F)·dA · 回路环量 = 内部旋度的面积分

即使分成 4 个单元，内部边相互抵消，只剩边界回路。

邻边抵消

连接回路与内部的桥

安培定律(EM-14)讲闭合回路的环量 ∮B·dl。斯托克斯定理把这个回路环量与它所围面上每一点旋度的面积分联系起来：∮F·dl = ∫(∇×F)·dA。旋度 ∇×F 是度量场在某点打旋多少的矢量。散度定理(EM-07)联系面与体积，斯托克斯定理则联系回路与面。

观察∮F·dl = ∫(∇×F)·dA

回路环量等于内部旋度的面积分。

为何成立——邻边抵消

把面分成小单元，把每个单元的小环量都加起来。在两单元相接的内部边上，一个单元沿该边朝一个方向，邻单元则沿同一条边朝相反方向。所以内部贡献成对抵消。始终没有配对的，只有外边界上的边。于是把每个单元的旋度相加，只剩边界回路的环量。一个单元的小环量除以其面积，就是旋度 ∇×F。

选择∇×F = ?

旋度是单位面积的环量。

旋度，单位面积的环量

把单元缩到无穷小，它的环量除以面积就成为某点的旋度 ∇×F——单位面积在该点旋转的量。旋度是矢量，指向旋转最强之平面的法线方向（右手）。就像浮在水上的小风车，度量它在某点旋转多少、绕哪个轴。散度度量涌出，旋度度量打旋。

安培定律的微分形式

把斯托克斯定理代入安培定律。回路环量 ∮B·dl 是 μ₀I，内部是 ∫(∇×B)·dA。穿过回路的电流 I 是电流密度对面的积分 ∫J·dA。于是 ∫(∇×B)·dA = ∫(μ₀J)·dA 对任意面都成立，故被积函数必须相等：∇×B = μ₀J。一行积分形式变成逐点的微分形式。它与散度定理给出高斯定律微分形 ∇·E=ρ/ε₀ 相配，是又一个麦克斯韦方程。

填空∫(∇×B)·dA = ?

由安培定律，面积分变成所环绕的电流。

自己来∇×B = ?

对任意面都相等，故被积函数相等。∇×B = μ₀J。

回到第一屏

在第一屏，面分得越细，内部相接的边越密，但它们都成对抵消——因为一个单元朝一个方向转，邻居就朝相反方向转。最后留下的只有外边界的边。所以把每个单元旋度相加的面积分，与边界回路的环量恰好相等：∮F·dl = ∫(∇×F)·dA。把这座桥放进安培定律，就得出微分形式 ∇×B = μ₀J。

斯托克斯定理是这样一个恒等式：闭合回路的环量 ∮F·dl 等于它所围面上每一点旋度的面积分：∮F·dl = ∫(∇×F)·dA。因为内部各单元与邻居相接之边的环量相互抵消，只剩边界回路。旋度 ∇×F 是单位面积的环量，即场的旋涡。与安培定律结合便得微分形式 ∇×B = μ₀J。

装备工具装备这件工具后

斯托克斯定理是在回路积分与面积分之间自由往返的工具。装备后，安培定律的微分形式 ∇×B = μ₀J 就到手了，并与散度定理(EM-07)的 ∇· 相配，凑齐 nabla 算子 ∇ 的三种用法(∇、∇·、∇×)。经由法拉第定律(EM-20)与位移电流(EM-21)，它支撑麦克斯韦方程组微分形式的全部。