麦克斯韦方程组

逐一查看四个方程

四个按钮把麦克斯韦方程逐一画成图。其中两个用散度（∇·）表示场从哪里发出，另两个用旋度（∇×）表示场如何环绕。把红色点电荷向外伸出天蓝色箭头的图，与环绕条形磁铁、始终闭合的金色圆环的图对照来看，区别一目了然。指示栏同时显示所选方程的积分形式和微分形式。四个方程如何把电与磁结合为一体，这就是本课要回答的问题。

四个方程汇于一处

分别为电和磁积累起来的内容，全部汇聚到四个方程中。高斯定理（∇·E = ρ/ε₀，EM-06）说明电场从电荷发出，磁场的高斯定理（∇·B = 0）说明磁场没有源。法拉第定律（∇×E = -∂B/∂t，EM-20）说明变化的磁场产生电场，由位移电流补全的安培环路定理（∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t，EM-21）说明电流和变化的电场产生磁场。这里没有新增定律，只是把已学过的四条放在一起。不过今天的四行形式并不完全是麦克斯韦最初写下的样子，而是后来亥维赛把他按分量列出的二十来个方程用矢量符号整理而成的。再加上电荷在场中受到的洛伦兹力，就构成了完整的经典电磁学。

两个散度与两个旋度

四个方程分为两类。两个散度说明场从哪里发出，两个旋度说明场如何环绕。从散度看，电场有电荷这一源（∇·E = ρ/ε₀），磁场却没有（∇·B = 0）。这是因为至今从未发现过磁单极子，所以磁感线没有起点也没有终点，总是闭合成环。把条形磁铁切得再碎，每一块都同时带有 N 极和 S 极，说的也是同一个事实。两个旋度把电场和磁场通过时间联系成一对：一方变化，另一方就绕着它环绕。

对称及其破缺

在四个方程中，电场与磁场几乎像镜像一样相对。变化的磁场产生电场（法拉第），变化的电场产生磁场（安培–麦克斯韦）。但对称并不完美：有电荷却没有磁单极子，两个旋度方程的符号也不同，法拉第一侧为负，安培–麦克斯韦一侧为正。正因为这一符号差，把两个旋度方程联立就得到两个场相互交替、来回振荡的波动方程；若符号相同，就不会有振荡，只剩下单向增长或衰减的解。此外，在没有电荷的空间中，统一单位后把电场和磁场互换并给其中一个加上负号，四个方程依然成立，而这种互换之所以成立，也正是因为符号不同。对安培–麦克斯韦方程取散度，再与高斯定理结合，电荷既不会产生也不会消失的电荷守恒便自然得出，这也说明四个方程是彼此咬合的。

方程中潜藏的波

在没有电荷也没有电流的空间（ρ = 0，J = 0）中，变化的电场产生磁场，这个磁场的变化又产生电场。把两个旋度方程联立，就得到电场和磁场相互接续、向外传播的波动方程，其速度 c = 1/√(μ₀ε₀) 只由两个常数决定。麦克斯韦算出这个值，发现它与当时测得的光速相同，光就是电磁波的结论由此而来。用实验证实这一点是在麦克斯韦去世之后，赫兹用火花间隙产生并接收到了电磁波。下一课将直接从方程中导出这种波。

回到第一屏

在第一屏用四个按钮看到的方程，并不是彼此孤立的定律。两个散度画出电场和磁场从哪里发出（有电荷，没有单极子），两个旋度画出通过时间把两个场联系起来的循环。一个变化的场产生另一个场，后者又产生最初的场，因此四个方程构成一个封闭的整体。正因如此，一处微小的扰动才能自我延续、在空间中奔跑，那就是光。

下一课（EM-23）在真空中联立两个旋度方程，直接导出波动方程。你将看到电场和磁场彼此垂直、又都垂直于传播方向的平面波以 c = 1/√(μ₀ε₀) 的速度传播，麦克斯韦方程组中蕴含的光就此显现。