EM-05 · 静电场

通量与散度

电场穿过面的多少（通量）只数垂直于面的分量。倾斜面来观察按 cosθ 变化的通量，并理解闭合面的净通量如何通向散度。

倾斜环来观察通量

在均匀电场中倾斜这个环。正对场时穿过的最多，立成边缘时为零。穿过的量由什么决定？

面的倾角 θ（法线与场的夹角）θ = 35°

拖动旋转。滑块调节面的倾角 θ。

穿过面的通量 Φ

Φ = E·A = EA cosθ · 只数垂直于面的分量

∮ E·dA · 闭合面的净通量揭示散度

通量比例 · 82%

倾斜

通量衡量电场穿过某个面的多少。若把场比作水流，通量就是穿过网的水量。在均匀场中，面正对着场放置时，穿过的最多。

倾斜面后，穿过量按 cosθ 减小，θ 是面法线与场之间的夹角。当面与场平行（θ=90°）时，场只是擦过面而不穿过，通量为零。所以通量是场矢量与面矢量的点积：Φ = E·A = EA cosθ。面矢量 A 的大小为面积、方向沿法线。

观察Φ = EA cosθ

面越倾斜，通量按 cosθ 减小。

选择Φ = ? = EA cosθ

通量是场矢量与面矢量的点积。

当面弯曲、或场处处不同时，把面切成微小块 dA，把每块的通量 E·dA 相加。这就是面积分 Φ = ∫E·dA。正如 EM-04 对点电荷的场作积分，这里我们在面上对场作积分。

填空Φ = ?

面弯曲或场变化时，用积分相加。

当面把一块区域围合起来，进入的通量与离开的通量之差就是净通量，记作 ∮E·dA。净通量为正，说明面内有喷出场的源（正电荷）；为负则有吸入处（负电荷）。把这个净通量除以体积并缩到一点，就得到散度——单位体积涌出的场量。下一单元的高斯定律，正是把这个净通量与封闭电荷联系起来。

自己来Φ_net = ?

闭合面的净通量揭示散度。

在第一屏，把环正对时通量最大，立成边缘时变为零。决定通过量的，是法线与场夹角的余弦，也就是点积。只有面矢量 A 在 E 上投影那么多的场穿过面。对弯曲的面或变化的场，就把这个点积在面上积分；对闭合面，净通量揭示其中的电荷。

通量 Φ 是电场穿过面的多少。它只数垂直于面的分量，所以 Φ = E·A = EA cosθ；对弯曲面或变化场则 Φ = ∫E·dA。穿过闭合面的净通量 ∮E·dA 揭示其中所含电荷，把它除以单位体积便得到散度。

接下来的路

闭合面的净通量与其中电荷成正比。下一单元的高斯定律(EM-06)将其定为 Φ = Q/ε₀，而散度定理(EM-07)把面积分与体积分、即积分形式与微分形式联系起来。对称性良好时，用这条定律无需积分即可得到电场。