EM-12 · 静电场

静电能

电荷分布中储存的静电能，其实存在于电场本身之中。亲眼看到电场增强时能量密度随电场的平方 E² 增大，并确认电容器的能量就是电场的能量（u = ½εE²）。

增强电场，观察能量

左边的红色极板与右边的蓝色极板之间加着匀强电场，填满间隙的光的亮度表示能量密度。用滑块增强电场，电场线变亮，间隙中的光则亮得更快。电场加倍时能量变为几倍，可以从指示器上的百分比确认。

场强 EE = 4.0

拖动旋转，滑块改变电场强度（E）。

场中的能量密度

u = ½εE² · 能量存在于电场中

U = ½CV² = ∫u dV · 电容器能量是场能之和

能量密度（相对最大） · 16%

中等

能量在哪里

给电容器充电就会储存能量（EM-11）。那么这些能量在哪里呢？看起来像是附在电荷上，但更深刻的答案是：它储存在电场本身之中。只要空间中有电场，能量就在那里，静电能分布在电场所遍及的整个空间。

能量密度 u=½εE²

在有电场的空间中，一点处单位体积的能量叫作能量密度，写作 u = ½εE²。关键在于它与电场的平方，即 E² 成正比。电场加倍，能量密度变为四倍，所以电场稍微增强，能量就会急剧增加。第一个画面里间隙的光比电场线亮得更快，正是这个关系。

观察u = ½εE²

能量密度等于 ½ 乘以 ε 再乘以电场的平方。

选择u ∝ ?

电场加倍，能量密度变为四倍。

在场强处聚集

能量密度与 E² 成正比，所以能量集中在电场强的地方。平行板电容器的电场均匀，能量均匀铺满整个间隙；而在点电荷周围，电场按 1/r² 变化，能量密度按 1/r⁴ 变化，大量集中在电荷近旁。若真的把点电荷看成没有大小的一个点，这部分能量的总和会无限增大，这也是经典电磁学难以处理点状电荷的原因。只要有电场分布图，就能立刻读出能量储存在哪里、储存了多少。

电容器能量 = 场能

两种观点在这里汇合。电路观点下电容器的能量 U = ½CV²，与场观点下把能量密度对体积积分得到的 ∫u dV，恰好是同一个值。在平行板中可以直接验证。把 E = V/d 和体积 Ad 代入 u = ½εE²，得到 ½ε(V/d)²(Ad) = ½(εA/d)V² = ½CV²。同样的能量，无论用电荷计算还是用场计算，答案都一样。能量寓于场中这一观点，引出了电磁波能在空无一物的空间中输送能量的原因。

填空U = u ?

总能量是密度在体积上累加的结果。

自己来U = ?

用场计算的能量等于 ½CV²。

回到第一屏

在第一个画面里，增强电场，填满间隙的光急剧变亮；电场加倍，亮度变为四倍。这是因为能量密度 u = ½εE² 随电场的平方变化。那道光就是分布在空间中的能量。承载能量的不是电荷而是电场，电容器中积累的 ½CV²，也恰好等于把各处体积的 ½εE² 全部相加的结果。

静电能储存在电场本身之中，而不是电荷上。单位体积的能量密度为 u = ½εE²，所以能量集中在电场强的地方（与电场的平方成正比）。总能量是这个密度对体积的积分 U = ∫u dV，对电容器来说恰好等于 ½CV²。电场 E 加倍，能量密度变为四倍。

接下来的路

至此完成了静电学的 12 个模块，从坐标系出发，经过电场、高斯定律、电势，直到静电能，这是静止电荷的世界。接下来进入运动的电荷，也就是电流产生的磁场。下一模块的第一个单元是毕奥-萨伐尔定律（EM-13）。能量寓于场中的观点，会在磁场能量（EM-19）和电磁波的坡印亭矢量（EM-24）中再次出现。